为什么定积分可以求面积？
从定积分的定义来看，，原意应该就是将曲线下的面积割成无数的细高的矩形，矩形的底宽是，当分割趋向于无穷多份时，变成了，是有限的小，表示的是无限的小，而则变成了底宽为无穷小的矩形的高度，就是它的面积了。不定积分是用来求原函数的，对一个函数求他的原函数就能求出他所围成的面积。为什么会这样。好比速度和时间的函数，对他求积分就变成了路程时间函数，然后两端相减也变成了速度时间围成的面积，实践例子说的通，但我不是知道这个理论基础是怎么样的，什么分成N部分之类的，不明白这个跟积分有什么关系。
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一、如何定义“面积”？首先面积是指的是二维情形的，一维时我们叫长度，三维我们叫体积，更一般的，我们把集合的长度、面积、体积（或超体积）这些依赖于我们说研究的的维数的名称统一称作的。理想情况是，对于维欧几里得空间中的每个子集，我们都能指派一个非负的数，它能作为的测度（即长度、面积、体积等），允许取值零(例如恰是一个单点的集合或者是空集)，也允许取值无限（例如当时整个时）。测度应该具备一定的合理的性质，例如单位立方体的测度应该等于当和不相交时应该有当时应该有对于任意的，应该有(即平移向量，测度应该不变)但是很不幸，这样的测度是不存在的，无法对于的每个子集都指派一个非负的数（包括），使得上述性质成立，这是一个相当令人惊奇的事实，因为它与人们关于体积的概念的直觉不符，（这种直觉发生错误的一个更为戏剧性的例子是，它说的是中的一个单位球被分成块，然后这块经平移和旋转重新聚合成两个完全不相交的单位球，这违背了体积守恒的概念）上述事实表明，不可能用一个合理的方式对于的每个子集都指派一个测度，但我们可以补救的是，只测量中的一类特定的集合——可测集合。我们只在这些集合上定义测度。下面我们来定义测度，从最简单的情形开始定义.（区间，盒子，elementary集合）一个区间是的一个子集，有如下四种形式其中是实数，我们定义区间的长度。中的盒子是区间（不必有相同的长度）的，因此，区间是一维的盒子，盒子的体积定义为。一个elementary集合是有限个盒子的并集。我们有如下定理定理. （elementary集合的测度）设是一个elementary集合，那么可以表示成有限个互不相交的盒子的并如果能被分成有个互不相交盒子，即，其中。那么数是与分法无关的，也就是如果有个其他的分法，其中，那么这一定理很符合直觉。根据这一定理，我们可以用表示的elementary测度（有时我们将写成当我们强调是维欧几里得空间中的测度）。比如的elementary测度是，中的长方形的elementary测度是，中的正方体的elementary测度是，显然，elementary测度的定义与我们的长度，面积，体积的定义是一致的。当然elementary集合太特殊了，包含的集合很少。比如中的三角形就不是elementary集合，我们注意到有些集合能够用包含和包含于它的elementary集合来近似，即，和是elementary集合，于是我们有如下的定义定义. （Jordan 测度） 设是的Jordan内测度定义为的Jordan外测度定义为如果，我们就说是Jordan可测，我们称为的。注意，我们不认为无界集合是Jordan可测的（它们的Jordan外测度是无限）。Jordan可测的集合是”几乎elementary“。显然，每个elementary集合都是Jordan可测的，而且elementary测度和Jordan测度相等，因此Jordan测度是elementary测度的推广，且与我们的长度，面积，体积的定义一致。我们可以用Jordan测度来定义长度，面积，体积。最为例子，的三角形的Jordan测度是。但也有很多Jordan不可测的集合，比如，它的Jordan外测度是，内测度是，比Jordan更一般的测度是，但它与Riemann积分无关，我们不在这里讨论这件事。二、Riemann积分与面积的关系定积分就是，先回顾一下Riemann积分的定义定义. （Riemann积分）设是区间，其中，并设是函数，的一个分法是一个有限的实数序列以及数 ()。我们简写为，数叫做分法的模，函数关于分法的Riemann和定义为如果极限存在，我们就说在上Riemann可积并且定义Riemann积分也就是对于每个，存在，对于每个分法，当时，显然，根据上面的定义，无界函数不是Riemann可积的。这个定义在几何上很直观，也就是表示函数图像下的面积，但用起来不方便，我们下面给出一个更好的定义定义.（逐段常值的函数） 设是区间，一个逐段常值的函数是存在一个的分法将分成有限个区间，使得在每个区间上等于常数容易证明表达式是与将分成逐段常值的分法无关，我们将上式用表示，即，也表示在上的逐段常值积分。比如那么定义.（Darboux 积分）设是区间，是有界函数，Darboux下积分同样，我们定义Darboux上积分显然，如果两者相等，我们就说在上Darboux可积并且定义在上的Darboux积分关于Riemann积分和Darboux积分的关系，我们有如下命题命题. 设是区间，并设是有界函数，那么是Riemann可积当且仅当是Darboux可积，并且在这一情形，的Riemann积分和Darboux积分相等。最后我们看Riemann积分的面积解释命题. 设是区间，并设是有界函数，那么是Riemann可积当且仅当集合和都是Jordan可测的，并且我们还有其中表示的是二维Jordan测度证明. 先证明非负的情形，是Riemann可积，那么对于每个,存在逐段常值的函数和满足设在的分法上逐段常值，且区间上的值为，集合{}是elementary集合，而且同理{}也是elementary集合，且注意到，因此令，有因此是Jordan可测的，且再证明Jordan可测，那么是Riemann可积是Jordan可测的，那么对于每个，存在elementary集合,，满足同样的做法，将与逐段常值的函数相联系，即可的即非负证明完毕，当不是非负，将分成正部和负部，于是有，重复上面的证明即可得因此。QED题主要注意只是表示一个数而已，不要拆开看，也可以写成。是因为我们在中取长度，并无其他的含义。
题主大概听过这个故事：有个人想测量中国地图的面积，就拿来一块大木板，把地图贴上去，沿着国境线把中国部分仔细切下来。然后把中国形状的木板称了称重，再除以事先知道的单位面积木板的重量，就得到了这块不规则木板的面积。下面咱把这个过程重新叙述一下：设单位体积木板的质量是木板厚度固定是设很小一块木板的面积是，因为厚度固定，它的体积就是，质量是地图形状的木板区域是，那么它的质量就等于把很多小块的质量加到一起，得到单位面积木板的质量是二者相除，得到不规则木板的面积为：去掉不必要的变量，精简一下就是说：是一小块区域的面积（准确地说是矩形区域），把很多小面积加起来就是总面积。积分的优点在于要算一块板上各处的某个量，可以简化为只算边界上的量，中间部分一加一减不见了，这个特点一般本称为微积分基本定理或者牛顿—莱布尼茨定理。
上面一大堆的数学高手，都在解答，不是很同意上述答案的方式，确实都写的非常好，很专业，但是不够深刻，理解需要很高的数学知识，完全可以秒杀我这个战斗力为五的渣渣，下面来说一下我的比较浅显的理解，首先我们都知道的我们可以吧一个函数分成很多很多份，假设这个区间是'[a,b]那么我们就有不同的份，假设我们分的足够大，也就是n很大，那么面积就近似的等于现在我们再看看，导数的定义是什么，假设f(x)是一个函数的导数，那么我们就有那么，我们既有首先我们要搞明白这里的Δx是什么，当n很大的时候，就等于 所有以上的总和就是楼主上市例子不理解的话，其实就是好了，我相信楼主对于这应该有一个很直观的理解了.......加油，求别喷
最简单直白的方法，题主理解一下变限积分求导的方法，这个问题就迎刃而解了。一个函数的原函数，描述的就是积分上限变化时，该函数所围成的面积变化情况。冯白羽给出的答案，F(x)就是变限积分。
因为面积就是由积分定义的，你的疑惑实际上来源于没有完全理解积分的概念。你可以尝试多读几遍定积分的定义，而不是纠结于 f(x)dx 这种符号的表面意义上。
问题可以分成两个部分:1) 不定积分为何可以用来算定积分？（或者：Newton-Leibniz公式是如何可能的？）这个问题比较简单，严格的证明可以参见几乎任何一部数学分析教科书。直观地来讲，既然黎曼积分是用黎曼和的极限，也就是细高的矩形的面积之和的极限来定义的。那么若设 其中这样，当很小的时候，，两者差距很小。此时我们来考虑在处的导数，而根据前面的 我们发现和差不多就相差一个小小的细高矩形的面积，而这个面积再除上它的底边长就恰好是是它的高，差不多是换句话说， 其中那么就有因此2) 一个函数的定积分为何等于其图像与轴围成的曲边梯形的面积？首先明确一点，黎曼积分不是用面积定义的，面积也不是用黎曼积分定义的。（也就是说，黎曼和的极限就是面积一般是需要证明的）然而，只要我们有一个良定义的通常意义下的面积，我们总是可以证明在这个面积的定义的意义下，函数的定积分等于其图像与轴围成的曲边梯形的面积。这个问题的关键在于面积是如何定义的。一般来说，我喜欢用来定义面积。用勒贝格测度定义了面积之后，我们立刻发现，根据定义，函数的达布大和的下确界必然大于等于其所围曲边梯形的面积，而可积函数的达布大和的下确界恰好是其黎曼积分。另一方面，我们又容易知道面积具有单调性，从而函数的达布小和又总是小于等于对应的曲边梯形的面积，而达布小和取上确界之后也得到黎曼积分。黎曼积分小于等于面积，面积又小于等于黎曼积分，因此两者必相等。
本来定积分跟不定积分没关系。不同的符号，不同的函数。直到有一天莱布尼茨找到了个公式，检验他们的DNA发现，原来他们是亲兄妹。（~~）我理解的题主的问题是：为什么原函数在区间上的函数值之差在数值上竟然等于这个函数在区间上跟x轴围成的面积。太不可思议了。。。（数学之美，呵呵）【啰嗦版】其实也很好理解。为了方便诉述，我还是以s v t 之间的关系来说说。区间是0---t1， 我们把这个区间切切切，分成很小很小的子区间，假如有个子区间0---t2，这时候因为很小了。v是一样的，那么在这段匀速运动中增加的位移S(t2)-S(0)=ΔS=vt*t2 (这个数字恰好就是v跟t轴围成的面积) ,然后全部加起来就有了S(t1)-S(0)就等于v跟x在区间0--t1围成的面积。 【精简版】就是把t化成全部是匀速运动的区间。每个匀速运动的面积都是v*t 所以和起来也一样。^_^ 说了这么多，给我的赶脚是 因为1+1=2,所以2+2=4 ，恶补知识去了。
把图形用若干和x轴y轴平行的直线分为若干小格子，把所有和图形有重合部分的小格子的面积和称为“上面积”，把所有图形完全含有的小格子的面积和称为“下面积”。有上面积&=图形面积&=下面积。上面积和下面积差的是包含边界的小格子的面积和。如果最长的小格子边长趋于0，上面积的极限等于下面积的极限，那么夹逼准则面积自然也就是它们的极限。此时称为图形可求面积的，可以看出充要条件是边界的面积为0。那么对比黎曼可积，任意一个x轴划分，在每个小区间上取最大，就是一种“上面积”的划分，同理去最小。所以黎曼可积意味面积存在，等于这个极限。
我觉得题主想问的是微积分是怎么发现的？
我对着个问题也很困惑，一个文科生的悲剧啊。主要是无法理解为什么对黎曼和求极限可以被定义为等式左边的那种积分形式。然后今天下午查了两个小时的资料，似懂非懂的样子，说出来一起探讨。
“定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？”（摘自百度百科，我觉得大多数人的问题都可以描述成这个）
第一，我觉得不能从表面上理解为什么黎曼和的极限定义为不定积分的形式，这无法简单地由式子推导得出。因为最初的定积分纯粹就是一个符号，除此之外没有任何意义（人们没有发现其中的联系。难道这是一个巧合？微积分数学史我没有详看），它就是对黎曼和的极限的一种记号，为了使表达简略些。假定先只把定积分当做是一种符号的表达，与不定积分没有任何联系。（不然理解过程很混淆）
第二，可以基于这样一个认识，去理解定积分的一些普通性质（或者可以说是对黎曼和求极限的一些通用性质）。这些性质在国内的教材的定积分章节中都有，有四五条。抛开定积分和不定积分的联系，从定积分的几何意义（曲边梯形分割求面积什么的），对黎曼和求极限的角度去理解。
第三，理解积分变限函数的意义。同样在理解的过程中不要掺杂有定积分和不定积分的关联，你可以把积分变限函数，以积分上限函数为例，看做是对下限固定上限不固定的黎曼和求极限。直到这里，定积分也依然是一个符号。
第四，理解原函数存在定理。我觉得这个定理是打通对黎曼和求极限和不定积分最最最最最关键的一步。详细式子我不贴出来了，教材上都有。通过这个定理，说明原来积分变限函数是f(x)的一个原函数。这样定积分和不定积分的联系就开始显露出来了。
第五，牛顿莱布尼兹公式。证明很简单，看看就懂了。
先只把定积分当做一种对黎曼和求极限的符号的表达，按照以上步骤一步步理解，对黎曼和求极限和不定积分的联系就会显露出来（从第四步开始）。
按照你的例子，假设时间是t, 速度是v, 路程是s, 在任意短的时间dt里认为速度不变，则在这段时间是的路程是ds=vdt（面积的概念）,然后对总的时间积分=s, 和你说的定积分的定义不矛盾。
y=x2的面积函数就是y=1/3x3y=1/3x3的微分 就是那个 小矩形。
1、刚开始也有此疑问，觉得好神奇的关联，很不可思议的美妙，也很想搞清楚当初人家怎么就想到了这种关联，后来知道，刚开始定积分积分与原函数的关系是牛顿、莱布尼茨揭示的；而用定积分表示面积是黎曼最先这样表达的，而且广为流传的，是定积分在几何上的一种应用；至于速度时间等都是对积分的应用；这两种概念是不同方式来理解定积分。2、如果想要理解积分所对应原函数意义，上面泰温回答的我觉得挺好：一个函数的原函数，描述的就是积分上限变化时，该函数所围成的面积变化情况。
牛顿莱布尼兹公式把积分与微分联系了起来，题主问题的后半部分请详细参阅微积分基本公式的引入证明。关于面积。f(X)*dx不是面积，对它的积分才是。至于为什么，其实从跟本上讲，面积的定义就是通过积分定义来的，我是这么认为的。或者你这么想，如果f(x)在某段区域连续，那么它是可积的，数学分析里，它的达布上和大于围成的面积，达布下和小于围成的面积，而达布上下和有一个共同极限，这个极限就是f(x)对这个区间的积分，所以它就是这个区域的面积。总建筑面积
建筑物的总建筑面积是指建筑物地面上以及地面下的各层的建筑面积总和，从含义上来看是很简单的介绍，但总建筑面积怎么算，里面就有很多复杂的内容。总建筑面积的测算需要地面上各个不同部分以及地下各层的不同部分去测算，然后综合起来才是准确的数据。
曾经有过与此相同的项目，地下部分均不计入容积率，但是如果要获得产权，层高就要达到2.2米。如果要避免计入建筑面积，可以填土使地下部分均不超过2.2米，待产权证书拿到之后，把填土挖出即可。
2012年1月，合肥市出台建筑面积测算新办法，制止开发商赠送阳台、入户花园，并规定，居住建筑每层阳台水平投影面积之和不应超过该层建筑水平投影面积的15%，每套住宅阳台个数应不大于2个。同时规定，飘窗的窗台高度不应小于0.45米，如飘窗太矮也要计算面积。
1.多层或高层住宅建筑的建筑面积，是按各层建筑面积的总和计算，其底层按建筑物外墙勒脚以上外围水平面积计算，二层或二层以上按外墙外围水平面积计算。2.地下室、半地下室等及相应出入口的建筑面积，按其上口外墙(不包括采光井、防潮层及其保护墙)外围的水平面积计算。3.电梯井、提物井、垃圾道、管道井等均按建筑...
套内面积+公摊面积=建筑面积
因为建筑面积是计算商品房价格的结算数据，所以对于购房者来说，了解建筑面积的计算方法是非常重要的。关于房屋总建筑面积怎么算，具体有以下8个方面：1.多层或高层住宅建筑的建筑面积，是按各层建筑面积的总和计算，其底层按建筑物外墙勒脚以上外围水平面积计算，二层或二层以上按外墙外围水平面积计算。2.地下室、...
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历史上的今天
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