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已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB1，求BPPC的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…（2分）以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）∵BNoNB1=（4，4，0）o（-4，4，0）=-16+16=0BNoB1C1=（4，4，0）o（0，0，4）=0∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；…（4分）（2）设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则n2oCN=0n2oNB1=0=>(x，y，z)o(4，4，-4)=0(x，y，z)o(-4，4，0)=0=>x+y-z=0-x+y=0，取n2=(1，1，2)，C1N=(4，-4，-4)则sinθ=|(4，-4，-4)o(1，1，2)16+16+16o1+1+4|=23；…（8分）（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则MP=(-2，0，a)，∵MP∥平面CNB1，∴MP⊥n2=>MPon2=(-2，0，a)o(1，1，2)=-2+2a=0=>a=1．又PM?平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=1时，MP∥平面CNB1∴BPPC=13…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图..”主要考查你对&&直线与平面所成的角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面所成的角
直线与平面所成的角的定义：
①直线和平面所成的角有三种：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.②取值范围：00≤θ≤900．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 最小角定理：
斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。 求直线与平面所成的角的方法:
(1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则
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271592625217284097397350258829264672如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸如图所示）．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
(2)证明：BD∥平面PE_百度作业帮
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(2)证明：BD∥平面PE
如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸如图所示）．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；& (2)证明：BD∥平面PEC；& & & & & &(3)求异面直线BD与AE所成角的余弦值.（4）在PA上是否存在一点Q,使得& &平面QBD∥平面PEC,若存在,请指出并证明.若不存在,请说明理由.
你好,很高兴能帮你解决问题如图所示(1)V(p-ABCD)=4*4*4v2/3=64v2/3(2)以ABCD为底面,以PA为侧棱,把图形补成一个长方体ABCD-PQRS,取DS的中点为H,连接HP,HC,HP平行且=EC,&PECH是一个平行四边形,对角线PC&交EH于O,&EH平行于BD,EO在EH上,所以BD平行于平面PEC(3)先证明PB垂直于AE,把角EAB记为角1,tan角1=2v2/4=v2/2,把角PBQ记为角2,tan角2=4/4v2=v2/2,& & 所以角1=角3,把角PBA记为角2,角1+角2=角3+角2=90度,所以PB垂直于AE一CB垂直于平面ABQP,&所以CB垂直于AE二,&PB交BC于B三,由以上三条得AE垂直于平面PBC,所以AE垂直于PG.&已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BC ∥ 平面C 1 B 1 N；（2）求证：BN⊥平面C 1 B 1 N；（3）求此几_百度作业帮
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BC ∥ 平面C 1 B 1 N；（2）求证：BN⊥平面C 1 B 1 N；（3）求此几
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BC ∥ 平面C 1 B 1 N；（2）求证：BN⊥平面C 1 B 1 N；（3）求此几何体的体积．
（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB 1 两两互相垂直．∵BC ∥ B 1 C 1 ，B 1 C 1 ?平面C 1 B 1 N，BC?平面C 1 B 1 N，∴BC ∥ 平面C 1 B 1 N…（4分）（2）连BN，过N作NM⊥BB 1 ，垂足为M，∵B 1 C 1 ⊥平面ABB 1 N，BN?平面ABB 1 N，∴B 1 C 1 ⊥BN，…（5分）由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，∴BN=
，…（6分）∵BB 1 =8 2 =64，B 1 N 2 +BN 2 =32+32=64，∴BN⊥B 1 N，…（7分）∵B 1 C 1 ?平面B 1 C 1 N，B 1 N?平面B 1 C 1 N，B 1 N∩B 1 C 1 =B 1 ∴BN⊥平面C 1 B 1 N&&&&&&&&…（9分）（3）连接CN，V C-BCN =
×BCoS △ABN =
…（11分）∴平面B 1 C 1 CB⊥ANB 1 B=BB 1 ，NM⊥BB 1 ，NM?平面B 1 C 1 CB，∴NM⊥平面B 1 C 1 CB，V
×4×4×8=
…（13分）此几何体的体积V=V C-BCN +V
=32；V=V C-BCN +V
…（14分）（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为_百度知道
（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为
wordSpacing.baidu.hiphotos.baidu:normal">AB＝（2013://f:1px solid black">92时:normal://f，它的正视图为直角三角形:1px"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=7c7c2c91de5ec3d86eeb0b4/d439bdcce://f.hiphotos，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置．（1）求证./zhidao/pic/item/d439bdcce:nowrap；（2）当
提问者采纳
height:0; " muststretch="v">12×4×13×[＝EFcos∠CFE=.com/zhidao/pic/item/fdd43f24e98d447e1ed21b0ff43bc7:1px solid black">92)×<img class="ikqb_img" src="http:background:0;padding-/zhidao/pic/item/fdd43f24e98d447e1ed21b0ff43bc7: initial，连结DG由题设条件可得四边形BCGE为矩形: hidden?平面DCF:normal: hidden"><td style="wordS overflow-x.jpg') no-repeat、AD分别为四棱锥A-BEFC和三棱锥A-DCF的高．…（7分）在Rt△EGF中:wordSline-height: 7 overflow-y; " muststretch="v"><div style="/zhidao/pic/item/fdd43f24e98d447e1ed21b0ff43bc7: 6px: no-repeat repeat.wordW height: url(http: url(http：（面面平行的性质法）因为四边形BEFC为梯形: initial: 6px://hiphotos.jpg): 7 background- background-origin:6px，所以平面ABE∥平面DCF．…（4分）又因为AE: 2background: hidden">92+<table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-right，所以∠GFE=60°://hiphotos: 2px解答，且GF=1又因为∠CEF=90°故CF==4从而BE=CG=3．…（9分）多面体的体积V=V四棱锥A-BEFC+V三棱锥A-DCF
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出门在外也不愁已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形．
（Ⅰ）证明：BN&平面B
（II）求二面角C-NB
1的余弦值；
（III）设M为线段AB的中点，在线段BC上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB
1？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由．
试题及解析
学段：高中
学科：数学
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面B
（II）求二面角C-NB
1的余弦值；
（III）设M为线段AB的中点，在线段BC上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB
1？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由．
点击隐藏试题答案:
解：解法一：（Ⅰ）证明
∵该几何体的正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形，
∴BA，BC，BB
1两两垂直．
1，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）
则N（0，2，2），B
1（0，4，0），C
1（2，4，0），C（2，0，0）
∵$\overrightarrow{BN}o\overrightarrow{N{B_1}}$=（0，2，2）o（0，2，-2）=4-4=0$\overrightarrow{BN}o\overrightarrow{{B_1}{C_1}}$=（0，2，2）o（2，0，0）=0（3分）
∴BN⊥平面C
1N；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\overrightarrow{BN}$=（0，2，2）是平面C
1N的一个法向量，（5分）
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$为平面NCB
1的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow no\overrightarrow{CN}=0\\\overrightarrow no\overrightarrow{N{B_1}}=0\end{array}\right.$=>$\left\{\begin{array}{l}（x，y，z）o（-2，2，2）=0\\（x，y，z）o（0，2，-2）=0\end{array}\right.$=>$\left\{\begin{array}{l}-x+y+z=0\\y-z=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n$=（2，1，1），（7分）
∴$cos＜\overrightarrow{BN}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{BN}o\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{BN}o\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即二面角C-NB
1的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．（9分）
（Ⅲ）∵M（0，0，1）．设P（a，0，0）为BC上一点，则$\overrightarrow{MP}$=（a，0，-1），∵MP∥平面CNB
∴$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow n$=>$\overrightarrow{MP}$o$\overrightarrow n$=（a，0，-1）o（2，1，1）=2a-1=0=>$a=\frac{1}{2}$．（12分）
又MP?平面CNB
1，∴MP∥平面CNB
1，∴当BP=$\frac{1}{2}$时MP∥平面CNB
1．（13分）
（Ⅰ）证明：由已知得B
1⊥平面BNB
BN=2$\sqrt{2}$=B
2，∴BN⊥B
1，∴BN⊥平面C
（Ⅱ）过N作NQ$\underline{\underline{∥}}$B
1，则BC∥QN，又BN⊥平面C
∴CQ⊥平面C
1N，则CQ⊥B
1N，∴∠CNQ是二面角C-B
1N-Q的平面角θ，
在Rt△CNQ中，NQ=2，CQ=2$\sqrt{2}$，∴CN=2$\sqrt{3}$，cosθ=$\frac{NQ}{CN}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅲ）延长BA、B
1N交于R，连接CR，∵MP∥平面CNB
MP?平面CBR，平面CBR∩平面CRN于CR，
∴MP∥CR，△RB
1B中AN$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}$BB
1，∴A为RB中点，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BM}{BR}$=$\frac{1}{4}$，∴BP=$\frac{1}{2}$，因此存在P点使MP∥平面CNB
点击隐藏答案解析:
本题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．
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