&主题：有轻量好用的自行车脚撑吗？
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我的大行20寸折叠车，在老挝到泰国走了一圈，后货架负10多公斤行李，到最后已完全撑不住(可能行李重量的事，原配脚撑是单脚，车子是略微倾斜的原因)到家后发现已经断了。不知道有什么好用且轻量的脚撑吗？
在淘宝上看到litepro的双脚(中撑)，又贵又重啊，一斤多，原配大行的才170克。有不超过原配重量又比原配好用的脚撑吗？
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&浏览：214&&回帖：9 &&
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楼下说拆脚撑的，实际上长途脚撑和挡泥板都是标准装备，拆了装13最后苦的是自己。
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看什么用，长途有这个更方便
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zhangjatwxf 发表于
车扔地上更安全...正解，买车要求车店装脚撑的都是菜鸟，老鸟都是不用脚撑的，买来有也是拆掉
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靠墙靠树靠路碑
实在没得靠直接放倒 本帖最后由 zh8848 于
16:27 编辑
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colori 发表于
我的大行20寸折叠车，在老挝到泰国走了一圈，后货架负10多公斤行李，到最后已完全撑不住(可能行李重量的事，原配脚撑是单脚，车子是略微倾斜的原因)到家后发现已经断了。不知道有什么好用且轻量的脚撑吗？
在淘宝上看到litepro的双脚(中撑)，又贵又重啊，一斤多，原配大行的才170克。有不超过原配重量又比原配好用的脚撑吗？车扔地上更安全...
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想装13么& &？专业的都不装这个
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这东西靠譜的就沒轻的，話說你都裝二十多斤了，还在乎这百十來克？
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车子买回家第一件事就是拆脚撑，路边实在要立车的话，脚踏转到后半圈搁台阶或者大石头上就可以停稳
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想轻，单脚的一律不靠谱，不如直接把脚撑扔掉，车子倒地放。
要不就直接上中撑
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教学论文-技校数学生活化教学的探索
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在课堂上教师依据教学内容，针对学生实际，向学生提出问题，是引导和促进学生自觉学习的一种教学手段，是联系师生思维&同频共振&的纽带，是开启学生智慧之门的钥匙。
一些教师在课堂上的设问诸如：是不是?对不对?行不行?好不好?&&等随意性问题脱口而出，提问的内容和提问的方式主要存在下面一些问题：
　　第一，提出的问题与问题间关系不明显，问题深度不够。
　　第二，设计问题时，对学生的生理及心理特点，考虑不多，问题缺乏针对性，留给学生独立思考的时间不够充足，难以体现教师的主导作用。
　　第三，教师完成教学任务(即讲完)而自问自答的现象比较普遍。
陶行知先生说过：&发明千千万，起点是一问，智者问得巧，愚者问得笨&。精心设计提问，要问得开窍，问得美妙，启人心智，启疑开窦，久而久之，学生的思维能力就能得到提高。
　　1．关于设问
　　设问是指在教学的关隘之处，有意识地创设疑问，激发、引导学生深入思考和探究的一种教学方式。它包括课前的问题设计和课堂教学中的问题设计。
　　课前的问题设计，要求教师在熟练掌握教材内容和教材教法的基础上，将每一个环节的每一个步骤进行认真分析，并根据学生的实际，找出可供学生进行思维训练的素材，根据需要设计问题，同时还要考虑问题发展方向及解决的方法。
　　堂上问题的提出，要求教师在确定了思维训练目标的基础上，将预备好的素材，按照解决问题时思维的不同方向和过程，精心组织一系列问题，恰当及时地予以展示(或设疑问、或设悬念、或找方向、或设障碍，&&)，运用简练、清晰、生动形象且富于幽默的语言引导全体学生积极思维，独立思考，努力解决问题。同时教师还要具备随机应变的能力，及时捕捉和利用堂上学生的反馈信息，随时设计问题，以求解决学生思维过程中出现的障碍。
2．设问的原则
&设问&解答(能力训练)&总结&迁移&是数学课堂上使用频率很高的一种教学模式，其中设问是关键部分，设问应该遵循如下的原则：
&&&&&&&&& (1)趣味性原则
课堂提问要有趣味性，以满足学生学习活动过程的心理需要。如果在教学中精心设计一些使学生感兴趣的问题，调动学生的积极性，想方设法使学生思维变得活跃，给学生带来一种高涨和激动的情绪。例如，在讲勾股定理时，先同学生们探讨面积证法后，启发学生广开思路，问有无其它证法，可以告诉学生我国很早就能用多种割补方法来证明。后来，有一位叫卢米斯的人，在他的《毕达哥拉斯定理》一书中曾给出了370种证法，画家达&芬奇也曾给出一种勾股定理的证法，引起学生证勾股定理的兴趣。再如，通过提出悬而未决的问题，引出悬念，给学生造成一种跃跃欲试和急于求知的心态。如在研究平面的基本性质时，引出公理和推论之前，可向学生提出如下问题：&把一根直尺边缘上的任意两点放在平的桌面上，可以看到直尺整个边缘就落在桌面上，为什么？&&为什么有的自行车的后轮旁只安装一只撑脚？&对这两个日常生活中常见的事例，要追根究底查原因时，学生却感到茫然，因而产生了悬念，使学生处于一种急迫地希望知道结果的状态，激发了听课兴趣。
(2)价值性和启发性原则
　　价值性是指，教师提出的问题必须引起学生的关注和思考，这样才能起到训练思维的作用；同时必须注意&思考价值&是相对于所教学生而言的。课堂提问要有启发性，数学学习的本质是一种思维活动，发展思维能力是培养学生能力的核心，思维始于问题，课堂提问就要着眼于培养学生思维的积极性和训练学生的思维能力。根据思维&最近发展区&原理，选择一个&最佳的智能高度&进行设问，使大多数学生能够&跳一跳，够得着&。赞可夫认为：&教师提出的问题，课堂内三五秒钟就有多数人 &刷&地举起手来，是不值得称道的。&所以，提问要有思考的价值。如问学生&是不是&、&好不好&、&对不对&、&能不能&等，学生齐答了事，根本没有动脑，就失去了提问价值，对教学毫无作用，在提问中可精心设计这样一些问题：（1）多答案提问，如：&若A&B={1，2}，试问A和B各可为怎样的集合？&促使学生在学习数学中能全面的考虑问题，做到分析严密，表达严谨。（2）多变化提问，如：&以x为未知数的方程x2-3mx-m=0中，m为何值时，①方程有两个不相等的实数根？②方程有两个绝对值相等的实数根？③方程两根异号？④方程有一根为零？&由此题，使学生思维活跃，愿意对数学问题从特征、差异和隐含关系进行具体分析，作广泛联想，用各种不同的方法去处理和解决问题。（3）多解提问，如：&给你两直角边分别为3和4的两个全等的直角三角形，请你由这两个三角形拼成四边形，并求四边形的周长。&启发学生积极思考，寻找多种解题途径，使学生思路开阔，能从多方向、多角度研究问题。同时，设计提问时，要针对学生实际，不能提问太难，提问太难，则易造成&问而不答，启而不发&的尴尬局面，就会损伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣和信心。如学习正三棱锥的概念后，可马上问学生：&侧棱长都相等的棱锥是正棱锥吗？&&侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥吗？&而马上提问学生：&底面是正多边形，侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥吗？&是不适宜的。
(3) 坡度性原则
　　围绕主题，设计一个个有层次，有节奏，由浅入深，拾级而上。如学习奇偶函数的概念后，可设计以下系列问题：&函数y=x2和y=2x分别是奇函数还是偶函数？&&函数y=x2，x&（-1，1）是奇函数吗？&&函数y=2x（x+1）/（x+1）是奇函数吗？&，&若函数y=x2+a，x&（2a，a2+1）是偶函数，则a=？& 这样设问，由易到难，体现教学的思路顺序、学生的认识顺序，诱导学生循&序&渐进，把函数是奇函数或偶函数的必要条件：&函数的定义域关于数轴原点对称&揭示出来。又如&绝对值&一节课，可设计出下列目标思考题：&（1）画出数轴，你能找出来表示6和-6的点吗？&（2）&这两点到原点的距离（即大小）有何关系？&（3）&什么叫绝对值？&（4）&正数、0、负数的绝对值分别是什么？&（5）&如何求一个数的绝对值？&（6）&怎样比较任意两个有理数的大小？这里，（1）（2）是（3）的铺垫，（4）（5）（6）是解决（3）这一难点的应用。这样的设计提问，易于学生理解和接受，从而为解决&绝对值&这一难点扫清了道路。再如：用平方差公式分解因式（有理数范围内）的练习设计为：（1）直接运用公式分解因式。例如，n2 -m2，9x2 ?C4y2，1-25 b2等，（2）适当转化后运用公式分解因式，例如x5-x3，（p+q+r）2-（p+q-r）2等，（3）经一定技巧转化后运用公式分解因式，例如，a2-2ab+b2-c2等，（4）学生自己编题，并互换练习题，对于（1）属于模式的模仿，学生多为消极应付；对对（2）属于模式识别，学生大多积极动手；对于（3）属于模式构造，学生好奇生疑；对于（4）属于模式创新，学生跃跃欲试。
(4)目的性原则
目的性是指，教师提出的问题要有一定的预期，围绕着思维和能力这一核心进行发问。
&&& 善于把注意力集中在最主要、最本质的教材上，忌不分主次轻重，为提问而提问，而要有的放矢，紧紧围绕重点，针对难点，扣住疑点，体现强烈的目标意识和明确的思维方向，避免随意性、盲目性和主观性。如针对&函数y=Asin（&x+ф）（A&0,&&0）的图象变换&中，很多学生抓不住相位变换的实质，可设计以下几个提问：（1）将函数y=sin（x+&/3）的图象上所有点向左平移&/3个单位，所得图象的解析式是什么？（2）将函数y= sin（2x+&/3）的图象上所有点向左平移&/6个单位，所得图象的解析式是什么？（3）将函数y=f（x）的图象上所有点向左平移&/6个单位后，得到函数y=sin2x的图象，那么y=f（x）的解析式是什么？然后通过分析、比较，搞清变换的实质：&平移变换是针对x的变换。&
　3．设问的常用技巧
　　学生乐于学习是确保教学有效性的重要因素，也是教学成功的重要标志。因此，在课堂教学中应通过巧妙设问来诱发学生的学习动机和兴趣，使他们在一个良好的环境中学习。根据设问的目的、角度、层次、对象的不同，设问的方式、方法也各有侧重。
　　(1)创设悬念引入课题
　　悬念是一种学习心理机制，它是由学生对所学对象感到疑惑不解而又想解决时所产生的一种心理状态。它能激发学生的学习动机和兴趣，使思维活跃、想象丰富、有利于培养学生克服困难的意志力。
　　例如，在讲授&对数计算&这节内容时，可以提出这样的问题：
　　将一粒芝麻的重量和太阳相比，似乎是一个毫无疑义的话题。若让芝麻发芽、生长、开花、结果，再将所得的全部果实继续发芽、生长、开花、结果，&&，这样一直到第十三代后，所得芝麻的总重量将比太阳还重。同学们，你们相信吗?(解答从略)
　　问题激起了学生强烈的好奇心，学生的思维马上变得活跃起来，教学难点很容易予以突破。
　　(2)变换提问方式，增强设问的吸引力和思维价值。
　　比如：能不能说(a－b)2与a2＋b2相等?相切两圆是不是都有两条共切线?
　　这样的问题，学生会齐声回答或不假思索脱口而出，教师得到&相等或不等&、&是或不是&的回答，很难从中发现学生思维上存在的问题。不如将上述两个问题改为：
　　举例说明(a－b)2与a2＋b2是否相等?画图说明相切两圆有几条公切线?
　　又如，为了了解学生对某个问题的认识时，随意的(是不是啊?对不对啊?等)设问难以捕捉到学生真实的思维信息。我们可以对不同的判断进行统计，让学生以举手的方式来表达自己的看法。比如，对于某某问题的判断，请问：
　　1)认为正确的同学请举手；
　　2)认为不正确的同学请举手；
3)不能确认是否正确的同学请举手；
　　教师可根据统计的数据的分布比例，有针对性的予以讲解，使问题得到及时解决。这种设问模式可以更好的体现全员参与原则，特别是在变式思维训练或某一类型的选择题训练中，有着一定的代表性和较强的可操作性。
　　(3)设计&陷阱&以错纠错。
　　例如，在讲&算术根&这节课时，可以这样设问：
　　设大象的体重为x，蚂蚁的体重为y，他们体重之和为2s，那么，有x＋y=2s。
　　即x－2s=y　　(1)，
　　x=2s－y　　(2)
　　由(1)&(2)得：x2－2xs=y2－2sy，
　　两边同时加上s2，得：(x－s)2=(y－s)2
　　两边同时开方，得：x－s=y－s，所以x=y
　　这岂不是蚂蚁和大象一样重吗?为什么会出现这样的情况?
　　这样设计，学生对算术根的概念及其重要性会有相当深的印象，由于出现了如此大的谬误，学生今后对此类问题会十分谨慎。
　　(4)按照问题的产生过程以及问题的发展趋向设计问题组
　　按照问题思考的具体步骤以及问题演化的方向，进行适当的引导设计或者提问设计，使问题具有吸引力，积极调动学生思维的积极性。
　　例如，在&导数的概念&的教学中，可以这样组织教学：
　　(1)根据极限的产生和发展的历史过程，进行情景设计，让学生自然的接受导数的概念；
　　(2)根据导数的几何意义和实际意义，设置一个二维曲线和一物体动态运动图象。通过下列一组问题的设问引导学生进行思维与联想：
　　问题1：曲线在任一点的切线如何得到。
　　问题2：这一不规则运动物体在某一时刻的瞬时速度怎么得出。
　　由问题1、2，可自然地迁移到用导数来解决实际问题
通过这样的设问，既抓住了问题的实质，又体现了方法；既使学生掌握了基础知识，又使学生在教学活动中训练了思维，学到了分析问题、解决问题的方法。这种设问模式，在概念的理解、深化或结论的延伸、变化等方面，有着一定的代表性和较强的可操作性。
　　(5)以新旧知识的差异为背景，抓住递进的特点设计问题
　　比如，在立几&两条直线的位置关系&的教学中，教师可以设计这样一组问题：
　　1)在平面几何中，不重合的两条直线一共有哪几种位置关系?
　　2)在空间中，位置关系是否还是这两种(引导学生发现差异，进而探究新的知识)?
　　3)如果认为不是，请上台来向大家演示一下(示意手中准备好的两根竹针)。
　　这样的引入，抓住了研究环境的差异，借助直观教具，使学生一开始就对&异面&的概念产生较深刻的印象。
　　这种设问方法就是引导学生发掘同一研究对象在不同研究范围中所具有的相同与差异，通过提问，讨论，发现知识间的异同，产生新的矛盾冲突，引领学生进入一个新的研究环境。这样的题材，在&小学与初中&、&初中与高中&的衔接上经常遇到，处理好这种处于不同层次的前后两种知识间的过渡，是广大教师在课堂教学中必须重视的问题。
　　(6)针对课型特征，设计问题
　　对于例题教学，我们可以根据解题的几个要领(审题&搭桥&解答&反思)，抓住各个要领的思维特征，进行适当的设问，以展现思维过程，力求在此过程中尽可能的训练学生的思维能力。在审题时，可以从由已知条件可得出什么结论的顺向思维出发，循序渐进式地发问；又可从结论需要什么条件的反向思维出发，倒着一步一步发问。在搭桥时，可以从联想思维的三种基本方式(左推右、右推左、两头凑)中，展示联想设问或者寻的设问。在反思时，通过问：为什么要这样做?还能怎样做?使解题方法得到明确，解题思路得到扩展，为解题方法的迁移做好准备。这样，学生在练习的过程中才能加以运用和掌握，便于思维方法的巩固和迁移。
　　在复习课中，知识系统的梳理一般采用树状网络进行整理，它的优点是条理清晰，便于记忆和掌握。在复习相似内容时，可以用类比法设问引导，这样，不但可以明确知识系统整理的模式，而且可以使学生认真领会到课本知识的研究思路、模式和方法，从中学到分析问题、解决问题的方法。
数学的课堂提问，既是一门学问，又是一种艺术，授课时不在于多问，而在于善问、巧问。教师在教学中要深入研究教材，了解学生实际，紧紧抓住学生的求知心理，精心设计提问，使我们的提问有趣味性、有启发性，有梯度性，有针对性，调动每个学生思考问题的积极性，让每个学生参与到教学过程中来；要有民主风度、态度亲切、慈祥，让每个学生敢于插话、提问，敢于发表不同意见，充分披露灵性，展现个性，暴露学习中存在的问题；认真听取学生的回答，运用夸张的语气和鼓励、赞扬的言词，去激发学生的求知欲望，使我们的提问有趣味性、启发性、梯度性、针对性，把握提问契机，促进学生思维能力和思维品质的形成和发展。
&好&的设问是课堂教学中的润滑剂、调节剂和催化剂。设问技能运用的成功与否，不仅体现了教师的教学意识，也体现了教师的主导作用。教师们应增强设问的意识，认真掌握设问的技能，充分认识教学互动的必要性，在&导&上多下功夫，真正体现高质量素质教育的真谛。
浏览： 101&&评论：下列条件中，可以确定一个平面的是A.与同一条直线垂直的两条直线B.相交于同一个点的三条直线C.与同一条直线都不构成异面直线的两条直线D.与同一条直线平行的两条直线
空间可以确定一个平面的是A.两条直线B.一点和一条直线C.一个三角形D.三个点
下列方式不一定能确定一个平面的是A.两条相交直线B.两条平行直线C.不共线的四点D.直线和直线外一点
已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．
变形2.如图,是正方体的平面图,在这个正方体中:①&&&&
BE∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成600的角；④DM⊥CN.以上四个命题中,正确的序号是________(③④& ) 例3、.已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB与CD所成的角的大小.解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N,连结PM、PN,由三角形中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线AB和CD所成的角或其补角.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1。而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，∴MN2=MP2+NP2，∴MPN=900，异面直线AB、CD成900角。练习P27& 1-6题三、课堂小结1、异面直线的画法及判定方法2、异面直线所成角的定义以及求解方法四、布置作业课本P27& 习题5、6、7、8、11、12（3）补充：1、一条直线与两条平行线中的一条异面，则它与另一条的位置关系是__________2、如图，已知为所在平面外一点，，，、分别是和的中点，(1)判断与的位置关系(2)求与所成的角&&&&&3、已知，正方体中，、分别为、的中点，（1）判断与的位置关系。&（2）求异面直线与所成的角。&&&&&&参考解答：1、异面或相交2、（1）【方法一】假设与共面，由于过P、C、E三点有且仅有一个平面APC，点F在平面APC内，C也在此平面内，这样直线CB就在平面APC内，A、B、C、P共面，与P在平面ABC外矛盾。所以EF与PC异面【方法二】EF与PC异面（2）取AC的中点G，则EG∥PC,GF∥AB，∠FEG为EF与PC的成角或其补角；由于，，EFG为等腰直角△，∠FEG＝450，EF与PC的成角为450&&&& 3、（1）证明：N∈平面A1MN, M平面A1MN,直线A1M平面A1MN,N直线A1M与是异面直线&& (2)取DC的中点E，A1D1MEA1D1EM是平行四边形A1MD1ED1E与C1N的成角即为与所成的角，为900[教后感想与作业情况]&&&&&&&&& 1.2.3直线与平面的位置关系（1）??平行【教学目标】一、知识与技能：1、通过看书，归纳出直线与平面的三种位置关系，掌握各种画法，进一步培养空间想象能力2、掌握直线与平面平行的判定和性质定理，能够按步骤严格的证明线面平行二、过程与方法：通过看书归纳，明确数学概念的严谨性和科学性，逐步向一个会学习的人转变三、情感态度和价值观：感受化归的思想及学习方法的多样性【教学难点】线面平行的证明【教学重点】线面位置关系及线面平行的严格证明【教学流程】一、看书：P29---P31二、共同归纳要点：1、直线与平面的位置关系有三种：在平面内、平行、相交，它们是根据公共点的个数来区分的。重点说明画法（补充）：位置关系图形画法要点备注及符号在平面内直线画在平行四边形之内aα相交画直线与平行四边形的边都不平行，标出交点，被挡住的部分不画或画成虚线a∩α＝A平行在平行四边形之外画一条直线平行于平行四边形的一边a∥α或a∩α＝相交与平行统称在平面外，记作aα2、直线在平面内判定方法有公理1（一条直线上有两个点在一个平面内，则此直线在平面内来判断，直线与平面平行呢？）通过平移直线演示得出：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线平行于平面内某一条直线，则此直线平行于此平面（aα，a∥b,bαa∥α）（注意条件缺一不可，简称线线平行线面平行）3、通过教室墙面的线面关系，说明直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，过此直线的一个平面与此平面相交，则直线与交线平行（a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b,简称线面平行线线平行）已知:,& 求证:.证明:没有公共点.又没有公共点. 又三、教材P31----练习题（在学生做的同时，教师可以板书要讲解的例题），然后订正四、例题分析例1、三棱锥A-BCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若AE:EB=AF:FD，求证：EF∥平面BCD证明：AE:EB=AF:FD&&& &EF∥平面BCD说明：注意步骤条件缺一不可变形练习：求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面例2、已知一个几何体的三视图如图所示：⑴作出其直观图，并标上相应的字母；⑵若在上底面上有一点P，过P在上底面内作一条直线与下底面平行，怎样作出；⑶若将（2）中“在上底面内”的条件去掉，可以作多少条？这样过平面外一点可以作多少条直线与已知平面平行？⑷若两条直线都平行于同一平面，此两直线的位置关系如何？&解：⑴⑵过P在上底面内作l∥B1C1,l∥下底面；⑶去掉在上底面内的条件，可以作无数条直线与下平面平行；过平面外一点可以作无数个直线与已知平面平行⑷平行、相交、异面变形练习：一个长方体木块,如图所示,要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开,应该怎样画线?&分析:略(见课本第30页)例3、三个平面两两相交于三条不重合的直线，判断这三条直线的位置关系，并加以证明分析：以教室墙面为例说明这三条直线交于一点或相互平行已知：α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c求证：a,b,c交于一点或a∥b∥c证明：a,bβa∥b或a,b交于一点。当a,b交于一点时，设交点为O，这样O∈γ，O∈α,而γ∩α＝cO∈ca,b,c交于一点O。当a∥b时，a α,bαb∥α,bγ,γ∩α＝cb∥ca∥b∥c五、小结：本节主要介绍了直线与平面的三种位置关系及线面平行的判定和性质，做题时注意条件缺一不可。备用习题：判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)平面外的一条直线与平面内的无数条直线平行,则直线和平面平行;(2)平面外的两条平行直线,若一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面;(3)一条直线和平面平行,则这条直线平行于平面内任意一条直线;(4)一条直线和平面平行,则平面中必存在直线与这条直线平行六、作业：教材P36---1~4，11补充习题1、判断命题“若a∥α，则a平行于α内无数条直线”的真假__________2、下列表示直线a与平面α平行的是___________（填序号）①aα;②a∥α;③a∩α=3、梯形ABCD中，下底边ABα，上底边CDα,则CD与平面α内的直线的位置关系是______4、下列命题为真命题的序号是________.①a∥b,a∩α=Ab∩α≠；②a∥b,aαb∩α＝；③空间四边形相邻两边中点的连线，平行于过另外两边的平面5、作图题：（1）a，b为异面直线，过a作平面α，使b∥α（说明作法及理由）；（2）a∥α，P∈lα，l与a成600角6、a,b为异面直线，求证过b有且仅有一个平面与a平行7、在四面体ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EFGH为平行四边形，求证AC∥平面EFGH8*、有三个几何事实（a,b表示直线，α表示平面，a,b都在α外）①a∥b;②a∥α；③b∥α。用其中的两个为条件，一个为结论，写出所有构成的命题，并判断真假，真者给出证明，假的举出反例。【答案】1、真；&& 2、②③；&& 3、平行或异面；&& 4、①③5、（1）在a上取一点O，过O作b1∥b,b1与a确定的平面即为平面α（因b平行于α内一条直线b1）(2) 6、证明：在a上取一点P，过O作a1∥a,a1与b确定的平面α平行于a.假设过b还有一个平面β平行于a,a与点P确定的平面交β于c，a∥c，c∥a1与c与a1交于点P矛盾。从而α惟一。7、证明：EFGH为平行四边形EF∥GH,GH平面ACD，EF平面ACD EF∥AC,EF平面EFGH ,AC平面EFGH AC∥平面EFGH8*、①②③,①③②真（证明略）；②③①假，如图[教后感想与作业情况]&&&&1.2.3直线与平面关系（3）???－线面垂直【教学目标】一、知识与技能：理解直线与平面垂直的概念及相关定义，会用线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，理解线面垂直的性质定理及点到平面距离的概念二、过程与方法：通过演示??说明??练习对重点内容把握，非重点内容采取以不证但提，书上有的内容思考形式出现，培养学生的思维能力三、情感态度和价值观：感受直观与数学的严谨性【教学难点、重点】线面垂直的证明【教学流程】一、复习：直线与平面的位置关系有哪些？（相交、平行、在平面内）二、但就相交说明有斜交与直交：就垂直通过圆锥演示说明定义（如果一条直线与平面内任意一条直线垂直，则称此直线与平面垂直）；通过画法说明相关名称（垂线、垂足（实质为S在α内正投影）、垂面、记作:SO⊥平面α、点到平面的距离）&&&&&&&&三、思考1：过一点有几条直线与已知平面垂直？设PA⊥α，假设还有一条直线PB⊥α；PA,PB两条相交直线确定一个平面，设为β，交α于a，这样在同一平面β内有两条相交直线PA,PB垂直于a,矛盾结论1：过一点有且只有一条直线与一个平面垂直思考2：过一点有几个平面与已知直线垂直？(作图说明)结论2：过一点有且只有一个平面与已知直线垂直四、思考3：如何判断直线与平面垂直？（通过模型及作图说明）判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面（让学生用符号表示，并注意证明时的条件：m∥n,n⊥αm⊥α）判定定理2：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与平面垂直（让学生用符号表示，并注意证明时的条件：）例1、求证侧棱都相等底面为正三角形的三棱锥对棱互相垂直已知：三棱锥P―ABC中，ABC为正三角形，PA=PB=PC求证：PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB分析： PA⊥BCBC垂直于过PA的一个平面，如何找此平面呢？注意到三角形PBC及ABC是等腰三角形，底边BC上的高及中线重合，这样有证明：设BC的中点为D，连结PA、PD；∵PB=PC，AB=AC∴PD⊥BC,AD⊥BC；∵AD，PD是平面PAD内两相交直线，∴BC⊥平面PAD；∴PA⊥BC，同理PB⊥AC,PC⊥AB练习：求证一个三棱锥中有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直已知：三棱锥P---ABC中，PA⊥BC,PB⊥AC求证：PC⊥AB分析： PC⊥ABAB垂直于过PC的一个平面，过P作PO⊥平面ABC于OAB⊥平面POC，PO⊥AB，AB⊥COO是△ABC的垂心AO⊥BC，BO⊥ACBC⊥平面PAOBC⊥PO，BC⊥PA；同理可证BO⊥AC五、思考4：垂直于同一平面的两条直线有什么位置关系？平行：此称线面垂直的性质定理例2、一个平面平行线上任意两点到平面的距离大小有什么关系？相等说明：一个平面平行线上任意一点到平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离六、思考5：一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则此直线是否与平面平行？不一定七、思考6：加上什么条件可以使直线与平面平行？两点在平面同侧&&&&&&练习1：P34练习2：如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一点,且PA=PC.求证:AC⊥平面PBD.练习3：如图,已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC.&&&&&&&&八、总结,今天主要介绍了以下内容：1、一条直线与平面内任意一条直线垂直，叫做这条直线与此平面垂直2、直线与平面垂直的判定定理：①如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面；②如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与平面垂直3、几个主要结论：⑴过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；⑵过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；⑶垂直于同一平面的两条直线平行；⑷一个平面平行线上任意一点到平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离九、作业：P37习题5，7，8，10，13补充习题补充习题1、下列不能够判断直线垂直于平面的命题序号是________①直线与平面内无数条直线成角为直角；②直线垂直于两条异面直线在此平面内的正投影；③l∥α,lβ，α∩β＝m，m⊥γl⊥γ2、如图在△ABC中，AD⊥BC,E为△内一点，过E作FG∥BC，且将△AFG沿FG折起，使∠EA/D＝900，则图中与平面A/BC垂直的直线为____________3、正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间四边形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，则与AH垂直的平面为_________-4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下结论:①AB⊥平面BCC1B1;②AC⊥平面CDD1C1;③AC⊥平面BDD1B1.其中正确结论的序号是&&&&&&&&&&
&&5、有一旗杆高8 m,它的顶端挂一条10m长的绳子,拉紧绳子,并把它的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点都和旗杆脚距离等于______时，旗杆和地面垂直6、如图已知α∩β=l,AB⊥β于B，AC⊥α于C，CD⊥α于D，求证BD⊥l7、平行四边形ABCD所在平面外有一点P,且PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB,AD.8*、证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与平面垂直【答案】1、①②&&& 2、A/E;&&& 3、平面EFH;&& 4、①③；& 5、6m6、证明：;，同理AC⊥l,AB、AC相交l⊥平面ABDC,BD平面ABDCBD⊥l7、略& 8*、已知l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a、bα&&& 求证l⊥α证明：设c为α内任意一条直线，由于直线可以进行平移，故不妨设l、a、b、c都共点O， l⊥αl⊥c,在α内任意作一条直线交a、b、c分别为A、B、C,在l上任意取一点P，P关于点O的对称点为P/∠POC=∠P/OC△POC≌△P/OC&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&PO=P/O,OC=OC,PC=P/C&&&&&&&&
&△PAC≌△P/ACPA=P/A, ∠PAB＝∠P/AB ,AC=AC△PAB≌△P/ABPA=P/A,AB=AB,PB=P/B[教后感想与作业情况]&&&.2.3空间的直线与平面（4）???－射影【教学目标】一、知识与技能：理解射影的有关概念，掌握直线与平面所成角的概念及求法，了解三垂线结论及应用二、过程与方法：通过图形说明基本概念，通过例题说明基本定理，通过思考说明应用，培养空间想象能力三、情感态度与价值观：通过类比等方法，体会学习及任何事物发展的的渐进性【教学重点】射影、线面成角及三垂线结论【教学难点】成角及三垂线的应用【教学流程】一、情境:比萨斜塔---坐落在意大利西部古城比萨的教堂广场上.1590年意大利物理学家伽利略曾在塔上做了著名的自由落体实验,使比萨斜塔名扬四海.目前,塔顶中心点已偏离垂直中心线4.4米.今天我们借助物理学家伽利略对真理的探求精神一起来研究这座斜塔的倾斜情况.问题:如果把斜塔看成斜线,地面看成平面.如何用数学知识来描述斜塔的倾斜程度呢?新知探究:1.斜线的有关概念一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线(oblique line);斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.如图所示.2. 如图,过平面外一点P向平面α引斜线和垂线,则过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面α内的正投影(简称射影),线段P1Q就是斜线段在平面α内的射影.二、如图，直线l是平面α的一条斜线，斜足为O，a是平面α内任意一条直线，l与a的成角记为β，l与其在α内射影成角记为θ，问β与θ大小关系如何？β≥θ角θ（一条直线与它在平面内射影成角称该直线与平面的成角）aα及a∥α时，直线与平面成角规定为00；a⊥α时，规定成角为900三、思考一：这样直线与平面成角的范围是什么？ [00，900]例1.如图,已知AC,AB分别是平面α的垂线和斜线,C,B分别是垂足和斜足,,求证:.分析:∵AB平面ABC∴只要证明⊥平面ABC即可.证明: ∵AC⊥α,α∴⊥AC,又⊥BC,且AC,BC交于C, ∴⊥平面ABC.思考：反之若则是否成立？例2.已知∠BAC在平面α内,Pα,∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC垂足分别为O,E,F,连结OE,OF,OA..&&&&同理,AC⊥OF.在RtΔAOE和RtΔAOF中,AE=AF,OA=OA,所以RtΔAOE≌RtΔAOF.于是∠EAO=∠FAO,因此, 点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.思考:你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?练习：若直角∠ABC的一边BC平行于平面α,另一边AB与平面α斜交于A,求证:∠ABC在平面α上的正投影仍是直角.（证明:作BB1⊥α,B1为垂足,CC1⊥α,C1为垂足,∠AB1C1为∠ABC在平面α上的投影,则BB1∥CC1由B1C1α,有B1C1⊥BB1&B1C1⊥平面ABB1 B1C1⊥AB1, ∠AB1C1=900∠ABC在平面α上的正投影仍是直角.）例3、已知正方体AC1中，求直线AD1、AC1与下底面ABCD成角的正弦值解：∵D D1⊥平面AC（或AD1在平面AC内的射影为AD）&&& ∴∠D1AD为AD1与平面AC的成角，sin∠D1AD=∵CC1⊥平面AC（或AC1在平面AC内射影为AC ∴∠C1AC为AC1与平面AC的成角，正弦值为说明：求线面成角步骤：作出---证出----指出-----求出练习：如图，四面体A-BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正切值。（
）三、小结：直线与平面所成角的有关概念.直线与平面所成角的作法及求解的基本方法.直线与平面所成的角& 范围:&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
方法:关键是作垂线,找射影&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
步骤:一作、二证、三算课上练习：教材P35---练习1、2、3、4四、作业教材P38---6.9.12,13,14补充习题【补充习题】1、正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、AA1的中点,则EF与平面AC的成角为__________2、平面α的斜线a与平面α成角为θ，则它与平面α内任意直线成角的最大值为____,最小值为___________3、线段ABα，AB=a,C、D是α外同侧两点，AC=BD=b,AC⊥α，DE⊥α于E，且BD⊥AB,BD与α成角为300，则CD=_____________4、直角△ABC的斜边ABα,AC和BC与α的成角分别为300、450，CD是斜边AB上的高，则CD与平面α的成角为________5、已知PA、PB、PC与平面α的成角分别为600、450、300，斜足A、B、C共线，PO⊥α于O，AB=BC＝10cm,则PO=___________（提示：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，由此求出三角形中线的长）6、底面为正方形的四棱锥P―ABCD,PD⊥平面AC,PD=DC,E为PC的中点。（1）求证：PA∥平面EDB；&&
（2）求EB和平面AC成角的正切值7、平面α的斜线l在α内的射影为l/,与平面α内的直线a成角记为∠(l,a),
l/与直线a成角记为∠(l/,a),
l与平面α、直线l/成角分别记为∠(l, α)、∠(l,l/)(1) 判断∠(l,
α)与∠(l,l/)什么关系；（2）∠(l,
a)、∠(l,l/)、∠(l/,a)的余弦值有什么关系？ （3）由此得到什么结论，将此结论写出来并记住8*、（1）求证正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直。（2）将之改成长方体还是否成立？在什么条件下成立？& （3）一般的直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）呢？【答案】1、450；&& 2、900；θ；&& &&3、；&& 4、600；&&&& 5、56、（1）设BD∩AC=OPA∥平面EDB(2)设DC的中点为H，则EH∥PD,∵PD⊥平面AC∴EH⊥平面AC∴∠EBH为EB与平面AC的成角tan∠EBH==&& 7、（1）相等；（2）设斜足为O,A为l上异于点O的一点，A在平面α内的射影为A/,过A作AB⊥c于B,由三垂线结论，c⊥A/B,则cos∠(l, a)=cos∠AOB=,cos∠(l,l/)=cos∠AOA/=,cos∠(l/,a)=cos∠A/OB=,∴cos∠(l,
a)=cos∠(l,l/).cos∠(l/,a)& (3)两条直线成角的余弦值等于直线与其在平面内射影成角的余弦值同射影与第二条直线成角余弦值的乘积&& 8*、（1）BD⊥AC,AC为A1C在平面AC内的射影BD⊥A1C;&&& (2) 不一定成立，那个表面是正方形对那个成立；&& （3）只要对角线互相垂直的四边形就可以成立[教后感想与作业情况]&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1.2.4空间的平面与平面 （1）----平行[教学目标]一、知识与技能：1、理解并掌握两个平面平行、相交的定义；2、会画面面平行或相交的图形，并会用符号表示，进而培养学生的空间想象能力；3、掌握面面平行的判定及性质定理，并能用其解决一些简单问题二、过程与方法：演示思考→汇总→练习，培养学生的自主学习与探究能力三、情感态度和价值观：使学生认识学习方法的多样性，体会汇总的方式与方法，逐步体会寻找适合自己的学习方式与方法[教学重点]面面关系，面面平行的判定和性质[教学难点] 面面平行的判定和性质的应用，本节是课件[教学流程]新课导入:问题1.前面已经学习和研究了空间中两条直线的位置关系：直线和平面的位置关系,而空间的基本元素是点、线、面,那么还有什么位置关系我们没有研究呢?问题2.空间两个平面之间的位置关系有哪些呢?请同学们结合生活的教室,找到空间平面的几种位置关系,并通过与同桌交流,讨论得到.(平行与相交)空间平面位置关系分类的依据是什么呢?新知探究1.空间两个平面有几种位置关系?问题1.空间两个平面有几种位置关系?问题2.如何来定义两个平面相交和平行?问题3.若两个平面有公共点,则公共点有几个?这些公共点有什么特点?问题4.有没有空间三个平面有且只有一个公共点的情况?若有,请举例说明.位置关系两平面平行两平面相交公 共 点没有公共点有一条公共直线符号表示α∥βα∩β= a&图形表示2.两个平面平行的判定(1)根据定义.(2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.<img
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吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A