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常微分方程理论的形成
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常微分方程理论的形成
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于常微分方程定性理论与稳定性的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：常微分方程定性理论与稳定性 《自然科学史研究》第24卷Studies in the History of Natural第 1期(2005年):Sciences Vol. 24
1 (2005)常微分方程定性理论与稳定性
理论的哲学思考陈明晖邓明立(河北师范大学数学与信息科学学院石家庄 050016)
摘要常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞,庞加莱在分析的基础上引入几何方法,开创了常微分方程定性理论,李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基拙上,转而进入了新的稳定性研究。通过对两者的比较研究,我们能够对科学历程中新思想、新理论的产生和发展规律有所感悟。
关键词庞加莱定性理论李稚普诺夫稳定性理论中图分类号 N092;0112文献标识码 A 文章编号 05)01-0045-08
求解微分方程一直是数学分析最重要的内容之一。力学、物理学和几何学的需要促使微分方程的研究突飞猛进,随着研究的扩展和深人,人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型甚少。法国数学家庞加莱(J. H. Poincar6,)顺(来源：淘豆网[/p-8509675.html])应科学发展趋势在微分方程求解过程中引人定性思想,突破了原有的微分方程求解的思维束缚,这是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。在定性理论研究基础上俄国数学家李雅普诺夫(A.M.Liapunov,)开创了常微分方程稳定性理论—亦称运动稳定性理论,在具体问题的研究中进一步完善和发展了定性理论。
庞加莱定性理论的整个思路与传统的方法大相径庭,这充分表现出庞加莱敢于向传统、权威挑战的勇气和大胆思索创新的精神。李雅普诺夫的稳定性理论虽以庞加莱的研究为基础,但两者在研究内容、研究范围以及研究方法上的不同,体现出李雅普诺夫用新角度的思考代替盲从权威的态度,为他的科学发现开辟了一条崭新的道路。我们可以通过对庞加莱定性理论和李雅普诺夫稳定性理论的比较,努力探究新思想在科学探索中产生和发展的规律。收稿日期:作者简介:;修回日期:作者邓明立陈明晖,1977年生,河北南皮人,硕士,现为中国科学院自然科学史研究所2003级博士;本文的责任,1962年生,河北辛集(来源：淘豆网[/p-8509675.html])人,博士.河北师范大学数学与信息科学学院院长、教授,主要从事数学史研究。基金项目:国家自然科学基金()自然科学史研究 24卷1 定性理论:几何方法研究微分方程1.1 微分方程研究呼唤新的方法
微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力,但始终没有从根本上摆脱求确定解的栓桔,致使研究的道路越来越窄。
19世纪初,数学分析产生划时代的飞跃,极限、连续等严格概念与方法的建立引起微分方程基本理论的巨大发展,其中,瑞士一法国数学家斯图姆(C.-F.Sturm ,)和法国数学家刘维尔(J. Liouville,)开辟出的特征值问题和初值问题的研究领域颇为引人注目。
1833年,斯图姆首次考虑了热传导过程中的二阶常微分方程,由于没有找到一般情形下解的任何可行表达,他建议直接从方程本身寻找解的性质。值得注意的一点是,在同一时期代数方程求根问题取得了根本性的突破,一是伽罗瓦(E. Galois,(来源：淘豆网[/p-8509675.html]))引人了“群”的概念,二是阿贝尔(N. H. Abel, )证明了五次代数方程没有根式解,结束了一般代数方程求根式通解的企图。斯图姆把代数方程根的分布的研究成功移植到常微分方程中,可以说他的思想与伽罗瓦、阿贝尔由寻求根式解转到研究解的存在性和解的性质的思想是平行发展的。
1836年,斯图姆发表了蕴涵这种新思想的论文,从新的定性角度研究二阶线性微分方程。随后,斯图姆与刘维尔合作共同开创了数学分析中一个新的理论分支— Sturm-Liouville理论。这一理论的特征是:当找不到解的任何可行表达时,直接从方程本身结构获得方程解的性质。因此,Sturm-Liouville理论可以看作是微分方程定性理论的早期萌芽[’」。
1841年,刘维尔证明了黎卡提方程一般没有“初等解”。由于黎卡提方程是最简单的非线性方程,这可以说从理论上结束了一般常微分方程求通解的努力。而出现在物理学、工程技术以及其他实际问题中的微分方程,通常情况下都是非线性的。
n体问题是其中最(来源：淘豆网[/p-8509675.html])具代表性的问题之一:寻找描述 n体问题的微分方程初值问题的全局。由于三体问题及更高阶的n体问题必须考察非线性微分方程解的性质,虽然在18,19世纪有许多数学家在这一领域进行了不懈的探索,但都没能取得多大进展。1.2 微分方程研究思想的重大转变
此时单纯的定量分析已不能解决问题,必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑。而庞加莱凭借对科学探索的良好直觉敏锐地发现定性思想恰好符合这种要求,他避开微分方程求精确解的定量方法,转向运用定性方法探求解的性质,从而解决非线性微分方程和n体问题。
年间,庞加莱发表了名为《关于由微分方程确定的曲线的报告》的一系列1期陈明晖等:常微分方程定性理论与稳定性理论的哲学思考论文①,由此开创了常微分方程实域定性理论。论文主要讨论常微分方程积分曲线的几
_‘dx ‘…“‘_ __、何表示,通过微分方程(形如于=.f(t,xt,xz,..&xn))右侧函数的性质来研究其解的性态。’“一(来源：淘豆网[/p-8509675.html])卜,. , - - -- /“‘、- “一”’‘’一’‘”一“2产州夕、J￣于”‘’一’”‘’一””“产、’“’”‘’一￣’口定性理论的实质是:在不求解的情况下,直接考察微分方程的系数和方程本身的结构,从而研究解的性质(如曲线的形状、结构和趋势等等)。
庞加莱定性理论在研究思想上成功突破了以往求解方程的束缚,它的创新之处主要体现在以下方面。1.2.1 从定量研究转向定性研究
庞加莱把一个函数的研究分为:定性部分—函数定义下曲线的几何研究;定量部分—函数值的数值计算。他直接研究微分方程所定义的函数本身,而不去将其化为较简单的函数。对于构造出的积分曲线,通过定性研究确定出一定数量的点,以此作为定量研究的基础。1.2.2 从分析方法转为几何方法
庞加莱之所以选择几何方法是因为,几何较之分析来说研究问题更加全面、直观,许多分析难以直接解决的问题往往利用几何进行整体的考虑获得解答。而且,几何已是一门较为成熟完善的学科,具有许多经典的性质和方法,它们是解决数学难题的利器。1.2.3 从函数作为(来源：淘豆网[/p-8509675.html])对象转到曲线作为对象
从 19世纪上半叶开始,微分方程的解通常被视为方程定义的解析函数。但随着研究的深人,函数这种在一点附近有效的分析工具不再适用。因此,庞加莱开始转向研究解的集体。他认为,当复杂的(非线性)方程不好解决时,利用方程定义的曲线可以较完整地、直观地描述出解的特性。为了充分发挥几何直观与几何想像的作用,庞加莱选择微分方程定义的积分曲线作为研究对象。1.2.4 从复域转回到实域
19世纪,数学家主要在复域上进行微分方程解的研究。出于对行星运动的兴趣,庞加莱要寻求解答的问题是:行星运动轨道是稳定的还是不稳定的。因此,庞加莱放弃了复域,只在实域中讨论问题,利用向量场与几何拓扑图形得出关于积分曲线和微分方程解的性质的结论。
然而,若干根本性的规律存在于复域中(例如,n次代数方程恰好有n个根这样的定理就存在于复域中),定性理论又重新回到复域中。常微分方程在这一阶段先后经历了复域到实域再到复域的研究过程,科学探索的规律由此可见一斑。1.2.5 从用等式转向用不等式
在科学探索中(来源：淘豆网[/p-8509675.html])求“是”存在困难时,可以转而求“否”,用以界定研究对象的性质和范围,从而达到求“是”的目的,庞加莱就将这种简单有效的思想方法广泛应用于微分方程定性理论中。① Deuvres de Henri Poincar,,11 vols,Paris:Gauthier-Villars,。这部11卷的《昂利·庞加莱全集》包括
庞加莱的重要科学论文、他对自己工作的部分叙述、达布写的传记,其中第1卷收录他于发表的
《关于由微分方程确定的曲线的报告》的系列论文。自然科学史研究 24卷
微分方程定义下的积分曲线与无切曲线的关系,就有些类似于等式与不等式之间的关系。庞加莱没有直接去确定积分曲线,而是利用无切环确定出极限环,从而确定了微分方程解的基本性态。1.2.6 从局部研究转为全局研究
19世纪末,天文学研究太阳系运动的稳定性,需要知道微分方程积分曲线在整个空间的性质,过去在奇点附近或在小范围内考虑问题的观念已无济于事。庞加莱一反过去局部求解的方法,在局部(来源：淘豆网[/p-8509675.html])分析的基础上研究积分曲线的整体拓扑性质,开辟了对连续现象进行定性与整体研究的途径。
庞加莱创立的定性理论在广泛使用几何方法的同时,仍坚持数学分析的基础,使其成为经典理论基础上的创新。在庞加莱工作的基础上,人们针对各种具体问题进行了深人的研究,如李雅普诺夫开创了常微分方程稳定性理论,对常微分方程定性理论的研究做出了突出的贡献。2 稳定性理论:定性理论的延伸和发展
为了解决太阳系的稳定性问题,人们已付出了200年的努力,但一直缺乏严格的定义和完整的理论体系。直到19世纪末,李雅普诺夫才首次建立起关于稳定性完整的一般数学理论,使稳定性理论真正确立起来,并获得了系统的发展。2.1 对庞加莱定性理论研究的继承与发展
稳定性是微分方程研究中的一个基本概念,早在古代就已经产生。到19世纪末,一些学者用不同的方法从一般观念出发,研究了稳定性理论的基本问题,但在分析扰动运动时没有注意到高阶项的影响。
1892年,李雅普诺夫发表了博士论文《运动稳定性的一般问题》,将庞加莱关于奇点附近积分曲线随时间(来源：淘豆网[/p-8509675.html])变化的定性研究发展到高维一般情形,开创了常微分方程稳定性理论这一新分支。李雅普诺夫的论文包含了众多的新思想、新结果,整个稳定性理论的历史也由此划分为前李雅普诺夫时期与后李雅普诺夫时期〔’〕。2.2 稳定性理论的确立
在实际情况中,干扰性因素总是不可避免的,因此稳定性理论的研究有很重要的理论意义和实用价值,这也是稳定性理论蓬勃发展的原因。
李雅普诺夫首先给出了常微分方程解稳定的严格定义(称为“李雅普诺夫意义下的稳定性”):
如果对于任何正数二,无论它多么小,可以选取另一个正数q(e),使得对于所有受干扰的运动,当其在初始时刻t。时满足
I x,(to)I&17 (s=1,2,…,n),而在所有t&‘。时满足不等式
I x,(t)}&e (s=1,2,…,n),
dx_则带二X (t,xi,xx,...,xn)的未被扰动运动(即x,二O's = 1 ,2,,**(来源：淘豆网[/p-8509675.html]),n)是稳定的;反之,则称”,dt 一
s、一””’一2”.”/11,一卜扩.￣￣分“”r ’3 一’- 一’一”‘“广￣-- H4 1 1
- p T7' IN'1期陈明晖等:常微分方程定性理论与稳定性理论的哲学思考未被扰动运动是不稳定的。
这个定义简单而有力,既反映了深刻的物理本质,又具有严格的数学含义,极大地推广了不动点或平衡解的稳定性定义,成为更严格、更自然的定义。
接着,他又给出了两种解题方法:(1)幂级数展开法,适用于已知扰动运动方程一个明确解(通常为无穷级数的形式)的情形。(2)李雅普诺夫直接方法,即李雅普诺夫第二方法,至今它仍是解决稳定性问题的主要工具。这种方法不用寻求运动方程的特解与通解,只要结合实际的物理背景,构造一类具有特殊性质的李雅普诺夫函数侧XI Ixz1..*Ixn),利用它控制积分曲线的动向,从而解决未被扰动运动的稳定性问题[’习。3 定性理论与稳定性理论的关系
1885年,庞加莱在第三篇论文中首次讨论微分方程解的稳定性。他创立定性理论一个很重要的动机就是处理太阳系的稳定性问题,同时他还研究了其他类型的稳定性,得到了许多重要的结果。李雅普诺夫在1884年的硕士论文《论旋转液体平衡的椭球面形状的稳定性》中就获得了同样的结果,他使用的方法与庞加莱的极为相似。
庞加莱与李雅普诺夫工作上的这第一次联系是受刘维尔研究的直接引导。刘维尔于年的演说中提出旋转平衡图稳定的新问题,其处理问题的方法对庞加莱产生了一定的影响,同时他的研究课题又直接激发了李雅普诺夫的研究兴趣[41。尽管之前庞加莱与李雅普诺夫的工作是相互独立的,但庞加莱论文的发表促使李雅普诺夫着手对这些结果进行统一。
李雅普诺夫的稳定性理论是处于纯定性与纯解析问题的中间地位,问题的提法是纯定性的,而解往往化为解析问题来求。起初,关于力学系统的稳定性理论同庞加莱更一般的思想相比并无太多引人之处,只被认为是庞加莱工作的重要补充。事实上,李雅普诺夫在定性理论的基础上重新引人了定量分析,不但进一步完善了定性理论,同时也令稳定性理论取得许多可贵的研究成果。3.1 定性理论和稳定性理论的联系
庞加莱在定性研究中初步涉及到了动力系统的“稳定性”问题,而李雅普诺夫的理论是建立在庞加莱工作的基础之上,他们的工作无法完全分开,存在着千丝万缕的联系。
庞加莱思想十分广泛,勾画出整个定性理论的主要面貌,但他的工作也存在许多有待修正与补充的地方。李雅普诺夫在庞加莱开拓的领域中深入物理现象的本质中,仔细研究了那些在理论及应用上均具有普遍意义的稳定性问题,在解决这一问题上比庞加莱更加深人彻底,从根本上解决了许多极具普遍性的难题。
庞加莱的论文开创了用定性方法研究稳定性理论的先河,而李雅普诺夫的直接方法则是受庞加莱处理问题方法的启发。庞加莱不求解微分方程,依靠方程右侧函数的性质描述积分曲线即解的拓扑性质,李雅普诺夫应用同样的思路创造了直接方法,成为定性方法在稳定性问题中的广泛应用。
庞加莱在平面上引人的“无切环”、“无切弧”概念,在李雅普诺夫手中发展为“李雅普自然科学史研究 24卷诺夫函数”,并被推广到高维空间,成为研究自动调节系统最有成效的方法之一。李雅普诺夫直接方法的几何实质类似于庞加莱的无切环线,其物理实质来源于系统的总能量,可以解决某些周期解的存在性问题,并且可以应用于最佳控制理论[s70
李雅普诺夫推广了庞加莱处理周期解和稳定性的特征指数的想法。3.2 定性理论和稳定性理论的不同
虽然庞加莱与李雅普诺夫的工作有相当多的类似之处,但他们的研究也存在着许多不同之处。3.2.1 研究的内容和目的不同
庞加莱从天体运动轨道的稳定性出发,尤其重视太阳系的稳定性的研究。另外,他研究了平衡椭球面经微小扰动的流体振动,对一些流体振动的稳定性进行了界定。庞加莱的稳定性研究总的来说是作为定性理论的一部分加以展开的。
李雅普诺夫研究稳定性的目的则是探索微分方程某一解法的有效域。李雅普诺夫将稳定性问题从太阳系的特定研究中分离出来,使之成为微分方程理论的一部分,而完全与它的起源无关。这一新方法的优点在于它可以应用于所有的微分方程,因此它在科学的许多领域中引出了各式各样的问题〔6]0
从中可以看出,庞加莱关于地球形状和太阳系稳定性的工作与李雅普诺夫的研究几乎没有重复。不仅关于稳定性的条件不同,而且研究的目的也不同。3.2.2 对稳定性的定义不同
自稳定性的研究开始以来,其如何定义这一根本性问题就一直困扰着诸多研究者,因为定义是否准确、恰当将直接影响研究的范围和对象。
庞加莱的定义相对来说更为宽泛。他在讨论轨道稳定性时提出,当动点无限接近初始位置时,轨道就是稳定的。庞加莱强调,不稳定是普遍的,而稳定则是少数的、特殊的[’〕。李雅普诺夫给出了比庞加莱的论述更一般、更严格的稳定性的定义。缺少这样的定义常常会给研究带来不便,因为一个运动在一个方向上稳定,在另一个方向上未必稳定,李雅普诺夫很好地解决了这个问题。
由上可以看出,庞加莱得出的定义从宏观上对稳定性进行了初步的界定,约束条件少,适用范围广。而李雅普诺夫则在此基础上将定义具体化、数学化,奠定了稳定性严格的理论基础。3.2.3 分析的范围不同
两者对稳定性不同的定义也使得分析的范围大相径庭。庞加莱的稳定性理论没有严格的界定,可以应用的空间更加广阔。庞加莱在应用定义和不变积分理论解决动力系统稳定性的一般问题时获得了回归定理,使其可以严格考察三体问题[8〕。
由于对给定运动状态的稳定性持不同意见,李雅普诺夫的定义本身就是一个局部概念,稳定性理论实质上为局部分析。李雅普诺夫的理论严格详细,都限定在他定义的范围之内。3.2.4 研究的基本方法不同
庞加莱广泛使用几何、拓扑直观的方法,将微分方程的问题转化为对曲线的研究,从而推断微分方程解的性质。t期陈明晖等:常微分方程定性理论与稳定性理论的哲学思考
而李雅普诺夫则使用分析的方法,以严格的分析证明解决稳定性问题。理论的严格性与彻底性是李雅普诺夫工作的显著特征之一。
如今,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一〔9]0庞加莱在分析的基础上运用几何直观与几何方法,为微分方程提供了新的思维方法和研究工具。李雅普诺夫在庞加莱定性研究的基础上又回到分析方法上来,不仅有精确的定义,更有严格的分析证明,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。4 由定性理论与稳定性理论引发的思考
常微分方程研究在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞,精确的定量分析已很难奏效。庞加莱用综合的思想开创了微分方程定性理论,同时在分析中引入几何方法,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁,带来了微分方程研究的新突破。
其实,19世纪末的法国数学的发展有些过分拘谨:集中于经典问题的深人研究,注重通过几何、分析上的严密化来解决一些悬而未决的问题。然而,庞加莱的出现使法国数学出现了新的转机。庞加莱善于总结前人寻求精确解失败的教训,大胆放弃求解和证明的严密性,借用几何方法和拓扑思想,整体、综合地研究微分方程解的性质。虽然被导师埃尔米特(C. Herrnite, )称作是“不修饰证明和不发表严格的证明,是无可救药”[’。〕的,庞加莱仍然不拘泥于传统思维的束缚,冲破重重阻挠,开创了新的理论分支。
在研究内容上,庞加莱的定性理论由研究精确解到研究解的性质,人们对解的综合认识也更进一步。在这一基础上,李雅普诺夫的稳定性理论对微分方程的具体问题又进人新的分析研究。在这里我们可以充分体会到“分析基础上的综合”与“综合基础上的分析”的辩证之美。
在研究方法上,庞加莱在分析的基础上采取定性研究,利用几何、拓扑方法研究解的整体性质。而李雅普诺夫则重新采取分析的方法进行严格的理论研究,将庞加莱的研究工作具体化、实践化。
在研究的范围上,庞加莱不拘泥于局部研究,用整体思想去探讨微分方程解的性质。而李雅普诺夫则在整体认识的基础上又回到具体局部问题的研究上,这种局部与整体的转变是和分析与综合的思想紧密相关的。
庞加莱思路开阔,具有敏锐的直觉,当分析方法求解的大门关闭时,能够从几何方法中另辟蹊径,用定性的、综合的方法研究微分方程解的性质。而李雅普诺夫在具体应用上比庞加莱深人透彻,严格详细,不仅开创了稳定性理论,而且使理论具有更广泛的实践性。庞加莱和李雅普诺夫的研究思想和研究方法以及他们之间的继承发展关系,既印证了科学发展的客观规律,又可以指导新的科学发展方向,为我们的科研工作带来更多的启发。52 自然科学史研究 24卷参考文献1
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of Ordinary Differential EquationsCHEN Minghui,DENG Mingli(College of Mathematics and Information Sciences, Hebei Normal University, Shijiazhuang 050016 , China)
Ordinary differential equations stagnated gradually after searching hard for the exactsolutions of differential equations for a long time. Poincar6 used the integrated idea to initiate qualita-tive theory of differential equations. He also introduced geometric method on the base of analysis andensured the quality of solutions though the integrated and holistic viewpoint. On the basis ofPoincar6's qualitative analysis,Liapunov entered into the new research of stability theory to make thestudy of solutions more specific and practical. paring the qualitative theory and stabilit犷theoryon differential equations,one can understand the contents and methods of their contents and methodsdeeply prehensively,and can also perceive the laws of the emergence and development ofnew ideas and theories in the scientific course.
Poincar6,qualitative theory, Liapunov, stability theory责任编辑:艾素珍播放器加载中，请稍候...
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常微分方程定性理论与稳定性 《自然科学史研究》第24卷Studies in the History of Natural第 1期(2005年):Sciences Vol. 24
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