有甲乙丙三个铅球他们的质量比是三比四比武已知丙比甲重500克三个铅球各种多少克？_百度知道
有甲乙丙三个铅球他们的质量比是三比四比武已知丙比甲重500克三个铅球各种多少克？
多种方法解答
（5-3）=750千克乙;3=1000千克丙：500×3/：750×4/甲
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某个班的全体学生进行短跑、跳高、铅球三个项目的测试，有5名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀，
人数如下表、铅球
铅球，有5名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀、跳高
跳高、铅球三个项目的测试
某个班的全体学生进行短跑：
<table style="width、铅球
则这个班的学生总数是（ ）
短跑、跳高、短跑
短跑、跳高
提问者采纳
又考虑到三项优秀的人，但在后来又被重复减去了三次，所以上面的计数产生了重复，重复的人数应当减去，在每一个单项上达到优秀的人数分别是17；但其中有人获得两项优秀、18，即这个班学生数为38+2=40，即总人数变为55-6-6-5=38、15
有5名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀，所以最后还要将他们加进去，因而，总人数是17+18+15+5=55，他们一开始被重复计算了三次
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出门在外也不愁2013高考物理基本知识点详细归纳_百度文库
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概率与统计（理） 一、高考动向： 高中内容的概率、统计是大学统计学的基础，其着承上启下的作用，是每年高考命题的热点，在解答题中，概率是重点（等可能事件、互斥事件、独立事件），在选择、填空题中抽样方法是热点，（高考一般一小一大，共17分左右，解答题属基础题或中档题是必考内容且易得分，考生必须高度重视）解答题的重点是概率与统计。 二、主干知识整合 1.两个基本原理 (1)分类加法计数原理； (2)分类乘法计数原理； 2．排列 (1)定义； (2)排列数公式：Amn＝n！n－m！(n，m∈N，m≤n)； 3．组合 (1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：Cmn＝Cn－mn(m，n∈N，且m≤n)；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n(m，n∈N，且m≤n)． 4．二项式定理 (a＋b)n展开式共有n＋1项，其中r＋1项Tr＋1＝Crnan－rbr. 5．二项式系数的性质 二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn这n＋1个组合数． 二项式系数具有如下几个性质： (1)对称性、等距性、单调性、最值性； (2)Crr＋Crr＋1＋Crr＋2＋…＋Crn＝Cr＋1n＋1； C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n； C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1； C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n•2n－1等． 6．随机抽样 (1)简单随机抽样；(2)分层抽样；(3)系统抽样． 7．统计图表 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图． 8．样本特征数 (1)众数；(2)中位数；(3)平均数；(4)方差；(5)标准差． 9．变量的相关性与最小二乘法 10．独立性检验 对于值域分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是： &&&&y1&&&&y2&&&&总计 x1&&&&a&&&&b&&&&a＋b x2&&&&c&&&&d&&&&c＋d 总计&&&&a＋c&&&&b＋d&&&&n 则K2＝nad－bcǠa＋bc＋da＋cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)． 11．概率 (1)概念的统计定义； (2)两个随机事件之间的关系：①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件；⑤互斥事件； (3)概率的基本性质：①任何事件A的概率都在[0,1]内；②如果事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③事件A与它的对立事件A－的概率满足P(A)＋P(A－)＝1； (4)古典概型：特征是基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性； (5)几何概型：特征是基本事件个数的无限性、每个基本事件出现的等可能性． 12．离散型随机变量的分布列 它具有两条基本性质： (1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1，即总概率为1； (3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和． 13．超几何分布列 14．条件概率和独立事件、二项分布 (1)条件概率；(2)事件的独立性； (3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率． 15．离散型随机变量的均值和方差 (1)均值：性质E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.若X服从两点分布，则E(X)＝p.若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np. (2)方差：性质D(aX＋b)＝a2D(X)．若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 16．正态分布 (1)概念；(2)正态曲线的六个特点． 三、要点热点探究 1．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图18－1所示正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有( ) A．22种&&B．24种 C．25种&&D．36种 图18-1 【分析】&掷三次骰子，点数最多为18，因此回到点A处只能是一次，而不能是回到点A后再次回到点A.由于正方形的周长为12，即说明三次掷的骰子点数之和为12，设三次点数分别为a，b，c，即方程a＋b＋c＝12的满足1≤a，b，c≤6的解的组数即为所求的走法．我们可以先固定其中的一个点数，分类求解另外的点数的各种可能情况． C 【解析】&根据分析，a＝1，则b＋c＝11，只能是(5,6)，(6,5)，2种情况；a＝2，则b＋c＝10，只能是(4,6)，(5,5)，(6,4)，3种情况；若a＝3，则b＋c＝9，只能是(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，4种情况；a＝4，则b＋c＝8，只能是(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，5种情况；a＝5，则b＋c＝7，只能是(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6种情况；a＝6，则b＋c＝6，只能是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，5种情况．故总计2＋3＋4＋5＋6＋5＝25种可能． 【点评】&本题的设计极为巧妙，在必修3的教材中就有投掷骰子求点数之和的例子，这里把这个问题进行变通，问题就相当于在固定第一次投掷结果的情况下，分别求投掷两次骰子其点数之和是6,7,8,9,10,11的情况有多少种． 2．在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为( ) A．78&&&B．114&&&C．108&&&D．120 【分析】&先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况． B 【解析】&五人分组有(1,1,3)，(1,2,2)两种分组方案，方法数是C15C14C33A22＋C15C24C22A22＝25，故分配方案的总数是25A33＝150种．当仅仅两名女医生一组时，分组数是C13，当两名女医生中还有一名男医生时，分组方法也是C13，故两名女医生在一个医院的分配方案是6A33＝36.符合要求的分配方法总数是150－36＝114. 【点评】&在分配问题中如果待分配的元素数目多余分配的位置数目，就要先分组然后再进行分配． 3．若3x－1xn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________． 【分析】&令x＝1求出各项系数和确定n值，根据二项式的通项公式求解常数项． －540 【解析】&令x＝1得二项式3x－1xn展开式的各项系数之和是2n，由此得n＝6.根据二项式的特点，其常数项一定是中间项，这个常数项是C3633×(－1)3＝－540. 【点评】&注意二项式各项系数之和与各项的二项式系数之和的区别，这个题目这两个和相等，但很多是不相等的． 4．[;天津卷]&一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________． 12 【解析】&设抽取男运动员人数为n，则n48＝2148＋36，解之得n＝12. 【点评】&分层抽样是等比例抽样，在分层抽样中，如果各层的容量分别是a1，a2，…，an，抽取的样本容量为b，则第i层抽取的样本数目是ba1＋a2＋…＋an×ai. 5．(1)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数分别为( ) A．26,16,8&&B．25,17,8&&C．25,16,9&&D．24,17,9 (2)从2012名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2012人中，每人入选的概率( ) A．不全相等&&&&&&&&&&B．均不相等 C．都相等，且为502012&&D．都相等，且为502010 (1)B (2)C 【解析】&(1)从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003，则由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是60050＝12，故被抽取的号码成等差数列．该等差数列以3为首项，12为公差，则其通项公式为an＝12n－9(n∈N*)．所以在第Ⅰ营区的学生数需满足0&12n－9≤300，解得912&n≤25，故第Ⅰ营区的有25人；在第Ⅱ营区的学生数需满足300&12n－9≤495，解得26≤n≤42，可知在第Ⅱ营区的学生数为17人；在第Ⅲ营区的学生数需满足495&12n－9≤600，解得42&n≤50，可知在第Ⅲ区的学生数为8人．综上可知选择B. (2)设个体为a，a入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选，a不被剔除的概率是1－002012，a按照系统抽样入选的概率是502000，这两个事件同时发生则a被入选，故个体a入选的概率是. 6．(1)[;湖南卷]&如图20－1，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 ①P(A)＝________；②P(B|A)＝________. & 图20－1 （2）[;湖北卷]&如图20－2，用K、A1、A2三类不同的元件联结成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) & &&&&&&&&&&&&&&&&&&图20－2 A．0.960&&B．0.864&&C．0.720&&D．0.576 (1)①2π ②14 (2)B 【解析】&(1)①S圆＝π，S正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P(A)＝S正方形S圆＝2π； ②由∠EOH＝90°，S△EOH＝14S正方形＝12，故P(BA)＝S△EOHS正方形＝122＝14. （2）&解法1：由题意知K，A1，A2正常工作时的概率分别为P(K)＝0.9，PA1＝0.8，PA2＝0.8，又K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为PA1A2＋PA1A2＋PA1A2＝1－0.8×0.8＋0.8×1－0.8＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为PKPA1A2＋PA1A2＋PA1A2＝0.9×0.96＝0.864. 解法2：因为A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－PA1&A2＝1－1－0.81－0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)1－PA1&A2＝0.9×0.96＝0.864. 7．．（湖北理5）已知随机变量&服从正态分布&，且Ｐ（&＜4）＝&，则Ｐ（0＜&＜2）＝ &&&&Ａ．0．6&&&&&&&&&B．0．4&&&&&&&&&C．0．3&&&&&&&&D．0．2 【答案】C 四、典例体验： 例1.&设函数f(x)＝x2－2a－1x＋b2的定义域为D. (1)a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}，求使D＝R的概率； (2)a∈[0,4]，b∈[0,3]，求使D＝R的概率． 【分析】&函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型，第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可． 【解答】&(1)∵a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3}， ∴(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种． 而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|， 那么满足D＝R的(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种，∴其概率为P＝912＝34. (2)∵a∈[0,4]，b∈[0,3]， ∴所有的点(a，b)构成的区域的面积＝12， 而D＝R，有4(a－1)2－4b2≤0，即|a－1|≤|b|， 满足a∈[0,4]，b∈[0,3]，|a－1|≤b的点(a，b)构成的区域的面积为7， 故所求概率P′＝712. 例2.&有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表． &&&&优秀&&&&非优秀&&&&总计 甲班&&&&10&&&&&&&& 乙班&&&&&&&&30&&&& 合计&&&&&&&&&&&&105 已知在全部105人中抽到随机1人为优秀的概率为27. (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率． 【分析】&由已知知成绩优秀的频率是27，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，据此即可以完成列联表，第二问按照独立性检验的原理基本判断，第三问列举基本事件个数和随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的概率公式进行计算． 【解答】&(1) &&&&优秀&&&&非优秀&&&&总计 甲班&&&&10&&&&45&&&&55 乙班&&&&20&&&&30&&&&50 合计&&&&30&&&&75&&&&105 (2)根据列联表中的数据，得到 K2＝105×&#－20×45&#×50×30×75≈6.109&3.841， 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． (3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)． 所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，…，(6,6)共36个．事件A包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，故P(A)＝836＝29. 例3.&一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝a1&a2&a3&a4&a5，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，ak(k＝2,3,4,5)出现1的概率为23，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5(例如：A＝10001，其中a1＝a5＝1，a2＝a3＝a4＝0，且X＝2)．当启动仪器一次时， (1)求X＝3的概率； (2)求当X为何值时，其概率最大． 【分析】&(1)X＝3的含义是在a2，a3，a4，a5中出现2个0,2个1，由于各个数字1出现的概率相同，故是四次独立重复试验恰好成功两次的概率；(2)可以具体计算X取各个值的概率，然后进行比较． 【解答】&(1)由题意得：P(X＝3)＝C7. (2)P(X＝1)＝C0，P(X＝2)＝C1， P(X＝3)＝2481，P(X＝4)＝C81，P(X＝5)＝C4， X＝4的概率最大，最大值为3281. 【点评】&如果x～B(n，p)，其中0&p&1，那么使P(x＝k)取得最大值时的k值满足p(n＋1)－1≤k≤p(n＋1)．这是因为当P(x＝k)取得最大值时，要同时满足Px＝kPx＝k－1≥1，Px＝kPx＝k＋1≥1，即Cknpk1－pn－kCk－1npk－11－pn－k＋1≥1，Cknpk1－pn－kCk＋1npk＋11－pn－k－1≥1，即n！k！n－k！pn！k－1！n－k＋1！1－p≥1，n！k！n－k！1－pn！k＋1！n－k－1！p≥1，即n－k＋1pk1－p≥1，k＋11－pn－kp≥1，即k≤p(n＋1)，k≥p(n＋1)－1，即p(n＋1)－1≤k≤p(n＋1)，所以当(n＋1)p为正整数时有两个k值．本题中的k值满足23×5－1≤k≤103，即k＝3，但ξ＝k＋1，故ξ＝4时其概率最大． 例4.&甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为pp&12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59. (1)求p的值； (2)设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)． 【分析】&(1)已知说明甲连续胜两局或者乙连续胜两局，根据已知的概率列方程即可求出p值；(2)比赛可以进行2局结束，题目已经给出这个概率值，根据比赛要求比赛不能进行3局即结束，这时只能是一个得2分、一个得1分，不符合要求，比赛可以4局结束，此时一个得3分、一个得1分，比赛不能5局结束，比赛5局时，只能是一个得3分、一个得2分，这时不管第六局比赛结果如何，比赛结束． 【解答】&(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p2＋(1－p)2＝59，解得p＝23或p＝13.又p&12，故p＝23. (2)由题意知X的所有可能取值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有 P(X＝2)＝59，P(X＝4)＝1－59×59＝2081，P(X＝6)＝1－59×1－59×1＝1681，则随机变量X的分布列为 X&&&&2&&&&4&&&&6 P&&&&59 2081 1681 故E(X)＝2×59＋4×81＝26681. 例5．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望； (3)经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率． & 【解答】&(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为70.14＝50(人)． ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (2)X＝0,1,2，此次测试中成绩不合格的概率为，∴X～B2，725. P(X＝0)＝1， P(X＝1)＝C＝252625， P(X＝2)＝. 所求分布列为 X&&&&0&&&&1&&&&2 P&&&&324625 252625 49625 E(X)＝0×××4. (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为 8≤x≤10，9.5≤y≤10.5，事件A“甲比乙投掷远的概率”满足 的区域为x&y，如图所示． 由几何概型得P(A)＝12×12×121×2＝116. & 五、规律技巧提炼 1．分步加法计数原理是对要做的事情分成若干类，每一类中的若干种方法都能独立地完成这件事情；分步乘法计数原理是对要做的事情分成若干个步骤，每个步骤只是完成这件事情的一个环节，只有这些步骤都完成了，这件事情才算完成．这就是两个基本原理的区别，在解决问题中要注意区分． 2．二项式(a＋b)n的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指Ckn，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别． 3．二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(1＋x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令x＝1即得，而(1－x)n的展开式中各项系数的绝对值的和，只要把x前面的系数－1变为＋1，令x＝1得到，也可以不改变系数－1，直接令x＝－1得到，这样就不难类比得到(1＋ax)n展开式中各项系数绝对值的和为(1＋|a|)n. 3．计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，值得注意的是三组数表中给出的数据均是有重复性的，要根据这个重复性简化计算．方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大． 4．对于几何概型，当基本事件只受一个连续的变量控制时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决；当基本事件是受三个连续的变量控制时，这类几何概型是立体型的，可以通过构造空间几何体加以解决． 5．注意确定性思维和统计思维的差异，确定性思维作出的是完全确定的、百分之百的结论，但统计思维作出的是带有随机性的、不能完全确定的结论，在解题中忽视了这两种思维方式作出结论的差异，就可能对统计计算的结果作出错误的解释． 6．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答． 7．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质． 8．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算． 六．专项训练： 1．某次活动中，有30个人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________．(用数字作答) 1200 【解析】&其中最先选出的一个有30种方法，此时这个人所在的行和列共10个位置不能再选人，还剩一个5行4列的队形，选第二个人有20种方法，此时该人所在的行和列不能再选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×126＝1200种． 2．(1)&2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计 1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答) (2)&在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( ) A．576&&&&&&&&&&&&&&&&&B．720 C．864&&&&&&&&&&&&&&&&&D．1152 (1)24 (2)C 【解析】&把需要相邻的两个元素看做一个整体，然后不相邻的元素外的元素进行排列，在隔出的空位上安排需要不相邻的元素.2件书法作品看做一个整体，方法数是A22＝2，把这个整体与标志性建筑作品排列，有A22种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A23＝6.根据乘法原理，故共有方法数2×2×6＝24. (2)先让数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，共有A44×3×A24＝864种，故选C. 3．(1)(1＋3x)61＋14x10展开式中的常数项为( ) A．1&&&&B．46&&&C．4245&&D．4246 (2)x＋14x8的展开式中，含x的非整数次幂的项的系数之和为( ) A．256&&&B．184&&&C．120&&D．72 (1)D (2)B 【解析】&(1)第一个展开式中x的指数依次是0，13，23，1，43，53，2，第二个展开式中x的指数依次是0，－14，－12，－34，－1，－54，－32，－74，－2，－94，－52，根据多项式的乘法规则，常数项只能是第一个展开式中x的指数是0,1,2的项与第二个展开式中x的指数是0，－1，－2的对应项的乘积，根据二项式的通项公式得，(1＋3x)61＋14x10展开式中的常数项为1＋C36C410＋C66C810＝4246.正确选项为D. (2)Tr＋1＝Cr8(x)r14x8－r＝Cr8x3r4－2，当r＝0,4,8时为含x的整数次幂的项，所以展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为C08＋C48＋C88＝72，展开式所有项的系数之和为28＝256，故展开式中含x的非整数次幂的项的系数之和为256－72＝184. 4．(1)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数分别为( ) A．26,16,8&&B．25,17,8&&C．25,16,9&&D．24,17,9 (2)从2012名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2012人中，每人入选的概率( ) A．不全相等&&&&&&&&&&B．均不相等 C．都相等，且为502012&&D．都相等，且为502010 (1)B (2)C 【解析】&(1)从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003，则由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是60050＝12，故被抽取的号码成等差数列．该等差数列以3为首项，12为公差，则其通项公式为an＝12n－9(n∈N*)．所以在第Ⅰ营区的学生数需满足0&12n－9≤300，解得912&n≤25，故第Ⅰ营区的有25人；在第Ⅱ营区的学生数需满足300&12n－9≤495，解得26≤n≤42，可知在第Ⅱ营区的学生数为17人；在第Ⅲ营区的学生数需满足495&12n－9≤600，解得42&n≤50，可知在第Ⅲ区的学生数为8人．综上可知选择B. (2)设个体为a，a入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选，a不被剔除的概率是1－002012，a按照系统抽样入选的概率是502000，这两个事件同时发生则a被入选，故个体a入选的概率是. 5．（福建理4）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 &&&&A．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&B．&&&&&&&&&&&&&& &&&&C．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&D．& 【答案】C 6．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12，则μ＝( ) A．1&&B．4 C．2&&D．不能确定 【分析】&根据函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点，得到ξ的范围，再根据正态密度曲线的对称性求解． B 【解析】&根据题意函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ&0，即ξ&4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4. & 7．（1）“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人(三人或三人以上)同时出示手势，以手心(白)、手背(黑)来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其他人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)、手背(黑)”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是________． (2)在不等式组2x＋y－4≤0，x＋y－3≤0，x≥0，y≥0所表示的平面区域内，点(x，y)落在x∈[1,2]区域内的概率是( ) A.57&&B.27&&C.314&&D.514 (1) 14 (2)B【解析】&一次游戏中，甲出的方法种数有2种，乙出的方法种数也有2种，丙出的方法种数也有2种，所以总共有23＝8种方案，而甲胜出的方案有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，2种情况，所以甲胜出的概率为28＝14. (2)如图，不等式组所表示的平面区域的面积是72，在这个区域中带形区域1≤x≤2的面积是1，故所求的概率是27. 8．[;广东卷]某数学老师身高176&cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173&cm、170&cm和182&cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 【答案】&185 【解析】&因为儿子身高与父亲身高有关，所以设儿子身高为Y，父亲身高为X，根据数据列表： X&&&&173&&&&170&&&&176 Y&&&&170&&&&176&&&&182 得回归系数：b^＝1，a^＝3， 于是儿子身高与父亲身高的关系式为：Y＝X＋3， 当X＝182时，该老师的孙子身高为185&cm. 9．[;山东卷]&红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ. 【分析】&(1)“至少”包含两名及两名以上，处理“至少”问题正面不易解决时可以从反面考虑；(2)问关键是分布列求出后核实其数据的正确性． 解答】&(1)设甲胜A为事件D，乙胜B为事件E，丙胜C为事件F， 则D，E，F&分别表示事件甲不胜A、事件乙不胜B、事件丙不胜C. 因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5， 由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3. 又由(1)知D&EF、DEF、D&E&F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立． 因此P(ξ＝0)＝P(D&E&F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1. P(ξ＝1)＝P(D&EF)＋P(DEF)＋P(DE&F) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35. P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4. 所以ξ的分布列为： ξ&&&&0&&&&1&&&&2&&&&3 P&&&&0.1&&&&0.35&&&&0.4&&&&0.15 因此Eξ＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6. 【点评】&概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的． 10．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由； (3)若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 【解答】&(1)茎叶图如下： & 学生乙成绩的中位数为84. (2)派甲参加比较合适，理由如下： x－甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85， x－乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85， s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5. s2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41. ∴x甲＝x乙，s2甲&s2乙，∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适． (3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A， 则P(A)＝68＝34， 随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 且X服从B3，34， ∴P(X＝k)＝Ck334k－k，k＝0,1,2,3， X的分布列为： X&&&&0&&&&1&&&&2&&&&3 P&&&&164 964 2764 2764 ∴E(X)＝0×164＋1×964＋2×64＝94或E(X)＝np＝3×34＝94.
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