不可对角化矩阵的特征值矩阵求特征向量量求法与应用论文

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-29 14:23 标签： 矩阵特征值特征向量
特征值与特征向量的概念与计算_百度文库
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特征值与特征向量的概念与计算|
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你可能喜欢透过近几年考研数学大纲看线性代数六大命题点
来源：　 18:44:58　【】　
　　通过对最近几年考研数学真题以及学生考研分数的分析，得出结论：首先，线性代数的得分率总体要比高等数学和概率论高5%左右;其次，在对考研学生的调查中，70%以上的学生认为线性代数试题难度低，容易取得高分;再次，线性代数侧重的是方法的考查，考点比较明确，系统性更强。
　　总体来说，线性代数主要包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型六章内容。1
　　一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法
　　在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。2
　　二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用
　　通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。3
　　三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定
　　向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。4
　　四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路
　　线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。5
　　五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解
　　矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。
　　六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理
　　二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。　　相关热点推荐：
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Copyright & 2004- 网　All Rights Reserved　中国科学院研究生院权威支持(北京)　电 话：010-　传 真：010-　　　　工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的
　　问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也都要用到特征值的理论.
　　　　　　　　　　　 作下面的乘法得
　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　
我们可以从映射的角度看待上述运算，即由二阶实矩阵A定义了一个由全体二元实向量集合到
自身的一个映射，它的对应法则为：　　　　　　　　　　　
在此映射下，像，只是原像的倍数.从几何上看，像与原像在一条直
　　线上，而向量的像就不具有这个性质.我们把，称为矩阵A的特征向量，数-1与3分别称为
　　，对应的特征值.那么，是否任何一个方阵都有特征值与特征向量？特征值与特征向量有些什么　
　　性质?这是本节要讨论的主要问题.
　　设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x使关系式
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　 （1）　　　
这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征
.其左端|A-E|是的n次
　　多项式，记作f(), 称为方阵A的特征多项式.显然，A的特征值就是特征方程的解.特征方
　　程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶方阵A有n个
　　特征值.　　 　
2. 特征值的性质
　　　　　　　　　　　
三、特征值与特征向量的求法
　Step 2 :
对A的每个特征值(i=1,2,???,s), 求解齐次线性方程组(A-E)x=0，　　　　　　　　　
　该方程组的全部解即为矩阵A的对应于的全部特征向量.
设矩阵　　　　　　　　　　　
　　　　求A的特征值与特征向量.
　　　　　例8　　
设矩阵　　　　　　　　　　　
　　　　　求A的特征值与特征向量.
　　　　例9　　 设矩阵　　　　　　　　　　　
　　　求A的特征值与特征向量.
　 设矩阵A为对合矩阵(即=E),且A的特征值都是1, 证明:A=E. 　　
　　　　　例11 　
设是方阵A的特征值.
证明是的特征值(k为正整数);
　　(2) 设 　　　　　　　　　　　
　　　　　证明是的特征值.
　　　　　四、特征值与特征向量的性质
　　　　例12
　设A为可逆矩阵,为A的特征值,
p为对应的特征向量, 证明:分别为与
　　的特征值, p分别为与对应的特征向量.　　设三阶矩阵A的特征值为１，１，２　B的特征值;
　　　　　　　 (2)　|B|.
不是A的特征向量.您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
矩阵的特征值与特征向量的一些应用.doc7页
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【标题】矩阵的特征值与特征向量的一些应用
【作者】杨 清 英
【关键词】矩阵特征值特征向量标准正交变换迷向圆变换
【指导老师】郑 莲
【专业】数学与应用数学
【正文】 1?引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具，有着非常广泛的用途．而矩阵的特征值和特征向量又是矩阵的最基本的性质，故而也有非常重要和广泛的应用． “矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语．被公认为矩阵论的创立者英国数学家凯莱?(A．Cayley,)同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号．1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论．文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性．另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果．1855?年，埃米特(C．Hermite，)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等．后来，克莱伯施(A．Clebsch，)、布克海姆(A．Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质．泰伯?(H．Taber)?引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论．2004年张贤达教授又对矩阵这一板块进行了系统的研究和论述[1]，他主要研究了矩阵分析、梯度分析、矩阵的奇异值分析、矩阵的特征分析、子空间分析、投影分析及其应用等等，突出了矩阵分析理论与科学技术应用的密切结合．而今对矩阵的应用也已有很多方面，
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【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】矩阵对角化
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