矩阵对角化例题化

第四章-矩阵的对角化_百度文库
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第四章-矩阵的对角化
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矩阵对角化研究开题报告
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矩阵对角化研究开题报告.DOC
官方公共微信相似矩阵 -
设A,B和C是任意同阶方阵,则有:(1)&A~&A&(2)&若A~&B,则&B~&A&相似矩阵(3)&若A~&B,B~&C,则A~&C&(4)&若A~&B,则r(A)=r(B),|A|=|B|(5)&若A~&B,且A可逆,则B也可逆,且B~&A。(6)&若A~&B,则A与B有相同的特征方程,有相同的特征值。若A与对角矩阵相似,则称A为可对角化矩阵,若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,则称A为单纯矩阵。
相似矩阵 -
★&相似矩阵与相似变换的概念★&相似矩阵的性质★&矩阵与对角矩阵相似的条件★&矩阵对角化的步骤★&矩阵可对角化的条件★&矩阵对角化的应用★&约当阵的概念
相似矩阵 -
一、相似矩阵的概念定义1设A,B都n是阶矩阵,&若存在可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称是的相似矩阵,&并称矩阵与相似.记为.对进行运算称为对进行相似变换,&称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系,满足:(1)&反身性:&对任意阶矩阵,有相似;(2)&对称性:&若相似,&则与相似;(3)&传递性:&若与相似,&则与相似.二、相似矩阵的性质定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1)&相似矩阵的秩相等;(2)&相似矩阵的行列式相等;(3)&相似矩阵具有相同的可逆性,&当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注:&定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,&使为对角阵,&则称方阵A可对角化.定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.&即设是矩阵A的重特征值.四、矩阵对角化的步骤若矩阵可对角化,则可按下列步骤来实现:(1)&求出的全部特征值;(2)&对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组的基础解系由个向量构成,&即为对应的线性无关的特征向量;(3)&上面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;五、矩阵对角化的应用1.利用矩阵对角化计算矩阵多项式定理4&设是矩阵A的特征多项式,则.2.利用矩阵对角化求解线性微分方程组3.利用矩阵对角化求解线性方程组在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事教师职业.六、约当阵的概念定义2在n阶矩阵A中,&形如的矩阵称为约当块.若一个分块矩阵的所有子块都是约当块,&即中都是约当块,则称J为约当形矩阵,或约当标准形.注:&对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵.定理5对任意一个n阶矩阵A,都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似.
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