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如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角B－AF－D的大小；（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.
答案（1）（2）
解析试题分析：解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。由， ，得，由，得（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）设平面ABF的法向量，则由得令，得，同理，可求得平面ADF的法向量。由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而由得。又因为故四棱锥H-ABCD的体积考点：二面角以及体积点评：主要是考查了二面角的平面角以及体积的计算。属于基础题。当前位置：
＞＞＞已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的..
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（1）求证：AD⊥平面PBE；（2）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ；（3）若VP-BCDE=3VQ-ABCD，试求CPCQ的值．
题型：解答题难度：中档来源：德州一模
（1）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE，又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，又PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．（2）连结AC交BD于O，连OQ因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ∥PA．又PA?面BDQ，OQ?BDQ，所以PA∥平面BDQ．（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为h1，h2，所以VP-BCDE=13S△BCDEh1，VQ-ABCD=13SABCDh2，因为VP-BCDE=3VQ-ABCD，且底面积SBCDE=34SABCD，所以CPCQ=h1h2=4．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的..”主要考查你对&&直线与平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．
发现相似题
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如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,
E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）
证明：直线EE//平面FCC；（2）
求二面角B-FC-C的余弦值。
解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.
（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,,,
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.
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＞＞＞如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为..
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH 是四棱锥的高，E为AD中点。
（1）证明：PE⊥BC；（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。
题型：解答题难度：中档来源：高考真题
解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（1）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m&0，n&0）则，可得因为所以PE⊥BC。（2）由已知条件可得故，，，设n=（x，y，z）为平面PEH的法向量则，即因此可以取n=（1，，0）由可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为..”主要考查你对&&用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
异面直线所成角：&
， （其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。
直线AB与平面所成角：
（为平面α的法向量）；
二面角的平面角：
或（，为平面α，β的法向量）。 用向量求异面直线所成角注意：
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：
①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意：
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．
求二面角，大致有两种基本方法：
(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系：
设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量为u，v，则 （1）线线平行l∥m a∥b a=kb； （2）线面平行l∥α a⊥u a·u=0； （3）线面垂直l⊥α a∥u a=ku； （4）面面平行α∥β u∥v u=kv； （5）面面垂直α⊥β u⊥v u·v=0。证明平行的其他方法：
①根据线面平行的判定定理：（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量；②根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
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