第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
&& 对矩阵做初等行变换:
定理1 任意矩阵都可以经过有限次的初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．
定理2& 任意矩阵和下面的矩阵等价：
其中完全由，，确定，是阶单位矩阵，是阶梯形矩阵非零行的行数．
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&(3)
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)
&& 根据初等矩阵定义，容易求得: &
&&&& &&&&&&&&&&&&&&， =
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&& &&&&&&&&&&&&&
定理3& 对矩阵施行一次初等行变换，相当于用相应的阶初等矩阵左乘矩阵；对矩阵施行一次初等列变换，相当于用相应的阶初等矩阵右乘矩阵．即初等矩阵左乘矩阵作用于行，右乘矩阵作用于列
定理2`& 对于任何矩阵，存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&5
推论& nAEn
定理4 阶矩阵可逆的充分必要条件是它等于一系列初等矩阵的乘积．
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6
定理5& 两个矩阵和等价的充分必要条件是存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&．& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&7
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
& 构造矩阵
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&9
矩阵的秩是矩阵的一个重要数字特征，运用它，我们不仅可以证明矩阵标准形的惟一性，而且将看到它在线性方程组理论中的应用。
定理6& 初等变换不改变矩阵的秩．
&&& 定理7& 矩阵A的标准形惟一。
定理8& 设是矩阵，是矩阵，则
&&&&&&&&&&&&&&&&
，&&&&&&&&&&&&&&&
维列向量维向量
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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&&&&&&&&&&
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&10
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&11
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&12
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&13
&&& ==&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
，则方程组有唯一解
，方程组（15）可变为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&）
定理9& 线性方程组有解的充分必要条件是；在方程组有解时：
（1）若=，方程组有惟一解；
&&& （2）若，方程组有无穷多组解．
定理10& 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是，等价地说，只有零解的充分必要条件是,其中为未知数个数
(1) &&&&&&&&&&&&&&&&&&
(3) &&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
(1) &&&&&&&&&(2)
(3)& &&&&&(4) &
(1)& &&&&&&
(3) &&&&&&&&&&已知3阶实对称矩阵A的各行元素之和为4,向量a（-4,2,2）^T是齐次线性方程组Ax=0的解,且矩阵A的对角元素之和为-1,则（1）矩阵A的特征值为?（2）属于特征值的特征向量分别为?(3)矩阵A等于?_百度作业帮
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已知3阶实对称矩阵A的各行元素之和为4,向量a（-4,2,2）^T是齐次线性方程组Ax=0的解,且矩阵A的对角元素之和为-1,则（1）矩阵A的特征值为?（2）属于特征值的特征向量分别为?(3)矩阵A等于?
已知3阶实对称矩阵A的各行元素之和为4,向量a（-4,2,2）^T是齐次线性方程组Ax=0的解,且矩阵A的对角元素之和为-1,则（1）矩阵A的特征值为?（2）属于特征值的特征向量分别为?(3)矩阵A等于?
因为 A的各行元素之和为4所以 A(1,1,1)^T = (4,4,4)^T = 4(1,1,1)^T所以 a1=(1,1,1)^T 是A的属于特征值 4 的特征向量.因为 a2=(-4,2,2)^T是齐次线性方程组Ax=0的解所以 a2=(-4,2,2)^T是A的属于特征值 0 的特征向量.因为 矩阵A的对角元素之和为-1所以 4 + 0 + λ3 = -1所以 λ3 = -5所以 A 的特征值为 4,0,-5由于属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交所以属于特征值λ3的特征向量 (x1,x2,x3)^T 满足x1+x2+x3=0-4x1+2x2+2x3=0解得基础解系 a3=(0,1,-1)^T 为A的属于特征值-5的特征向量令 P = (a1,a2,a3) =1 -4 01 2 11 2 -1则 P^-1AP = diag(4,0,-5)所以 A = Pdiag(4,0,-5)P^-1 =4/3 4/3 4/34/3 -7/6 23/64/3 23/6 -7/6 上传我的文档
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官方公共微信设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若齐次方程Ax=0基础解系里有一个解向量,则A*x=0的基础解系-中国学网-中国IT综合门户网站
> 设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若齐次方程Ax=0基础解系里有一个解向量,则A*x=0的基础解系
设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若齐次方程Ax=0基础解系里有一个解向量,则A*x=0的基础解系
转载 编辑：李强
为了帮助网友解决“设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若齐”相关的问题，中国学网通过互联网对“设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若齐”相关的解决方案进行了整理,用户详细问题包括:RT,我想知道:设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若齐次方程Ax=0基础解系里有一个解向量,则A*x=0的基础解系，具体解决方案如下：解决方案1：刚看到
因为齐次方程Ax=0基础解系里有一个解向量
所以 r(A) = 4-1 = 3
所以 r(A*) = 1
所以 A*x=0的基础解系里解向量的个数为 4-1 = 3.通过对数据库的索引,我们还为您准备了：a*=|a|*a^(-1)=-5*a^(-1) |a*|=|-5*a^(-1)|=(-5)^4 *|a^(-1)| ...① ∵a^(-1) *a=E, ∴|a^(-1)|*|a|=1,故|a^(-1)|=1/|a|=-1/5 ∴①式=(-5)^4 *(-1/5)=-125===========================================A*的秩智能是1,那么 A*的行列式为0。如果A的秩小于n-1那么A所有的n-1级子式全为0,所以 A*式0矩阵,行列式也为0 晕。我说你怎么问两遍。 我们可以反证法呀,设|A*|不等于...===========================================当矩阵A可逆时,它的伴随矩阵也可逆,因此两者的秩一样,都是n。当矩阵A不可逆时,A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1 时,其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1 时...===========================================有一下结论:如果矩阵A的特征值为λ,则有A*的特征值为|A|/λ,A^2的特征值为λ^2,A+E的特征值为λ+1。根据以上对应关系有:A*的特征值为|A|/λ,得到(A*)^2的特征值为(|A|/λ...===========================================选 D 因为A为四阶方阵,r(A)=2. 所以 A* 是零矩阵, 即 r(A*) = 0 所以 A*X=0的基础解系中含有解向量的个数 = 4 - 0 = 4. 满意请采纳^_^===========================================刚看到 3 因为齐次方程Ax=0基础解系里有一个解向量 所以 r(A) = 4-1 = 3 所以 r(A*) = 1 所以 A*x=0的基础解系里解向量的个数为 4-1 = 3.=========================================== 伴随矩阵A有A*A=│A*│E 两边求行列式的值│A*│X│A│=│-2E│ 即有-2│A*│=2^4 故而│A*│=-2^3=-8=========================================== 伴随矩阵秩加原矩阵秩=n 所1===========================================A的伴随矩阵里的元素是|A|的代数余子式,代数余子式都是三阶子式, 由题目条件,A的秩为2,因此所有三阶子式全为0,因此A*中的所有元素全为0, 所以A*为零矩阵。 证毕===========================================啊哈,我就做做看,不知道对不对呐,高等代数学的不是很好。d=A的模=1/2, A的模乘以A^-1的模=E的模=1, A^-1=1/d A*,所以原式等于3A^-1-2(dA-1)=2A^-1=2乘以2=4===========================================
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A是四阶矩阵，r(A)=3，又α1=(1,2,1,3)T，α2=(1,1,-1,1)T，α3(1,3,3,5)T，α4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次
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A是四阶矩阵，r(A)=3，又α1=(1,2,1,3)T，α2=(1,1,-1,1)T，α3(1,3,3,5)T，α4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组A*x=0的解向量，则A*x=0的基础解系是( )．A．α1B．α1,α2C．α1,α2,α3D．α1,α2,α4
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