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复变函数与积分变换课第五章.ppt117页
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第五章 留数 §1 孤立奇点 §1
孤立奇点 在第二章曾定义函数不解析的点为奇点。 1. 可去奇点 2. 极点 其中 反过来, 当任何一个函数 f
z 能表示为
的形式, 3. 本性奇点 中含有无穷多个z的负幂项。 4.函数的零点与极点的关系 顺便指出，由于 在 z0 的去心邻域内不为零，即 5. 函数在无穷远点的性态 如果在上面级数中
因此，根据前面的规定，有： §2
留数 1. 留数的定义及留数定理 但是, 如果z0为 f
z 的一个孤立奇点, 则沿在z0的某 因此将f
z 在此邻域内展开为洛朗级数 其中c-1就称为 f
也就是上面积分两边除以 定理一 留数定理
z 在区域D内除有限个 在孤立奇点处z0处的留数。一般说来,
求函数在奇点z0 2. 留数的计算规则 规则II
z 的m级极点, 则 令两端z?z0, 右端的极限是 m-1 !c-1, 两端除以 m-1 ! 3.在无穷远点的留数 的值与C无关, 称其为 f
z 在?点的留数, 记作 定理二
如果函数 f
z 在扩充复平面内只有有限 §3
留数在定积分计算上的应用 其中f
z 是z的有理函数, 且在单位圆周|z| 1上分母不为 其中zk k 1,2,...,n 为单位圆|z| 1内的 f
z 的孤立奇点。 [解]
由于0 p 1, 被积函数的分母在 [解]
设 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变。 因此, 在半径R充分大的CR上, 有 当R x 是x的有理函数而分母的次数至少比分子的 次数高一次, 且R z 在实数轴上没有奇点时, 积分是存 3. 形如 的积分 在的象2中处理的一样, 由于m-n?1, 故对充分大的|z|有 积分路线的方向是负的，也就是顺时针方向。 绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分 设函数 f
z 在圆环域R |z| +?内解析, C为圆环域内 从第一节可知，当n -1时，有 因此，由
可得 这就是说，f
z 在?点的留数
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内容简介：
&复变函数与积分变换&课程是工科电气、电子、通讯、自动化、勘查、测绘等许多专业的必修课，也是物理、力学、石油工程等专业一些后继课程的必要基础。我校在很早以前就在不同专业开设此课程。该课程包括内容互不相同，但又联系密切的&复变函数&和&积分变换&两部分内容。复变函数理论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时被公认是最丰饶的数学分支和抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如电磁学、热学、流体力学、弹性理论中的平面问题的有力工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。积分变换主要是傅立叶变换和拉普拉斯变换，它是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在自然科学和工程技术领域中均有着广泛的应用，已经成为不可缺少的运算工具。
作为一门数学课程，它除了像其它数学课程一样给学生知识，丰富学生的知识库，培养学生的数学思维语数学素质外，还具有它自身的特性，由于复变函数是在实函数的基础上产生和发展起来的，许多性质、概念、定义和实函数有着相同之处，又与实函数在某些方面有着实质不同。同时，复变函数是后续课程如数理方程、数字信号处理、信号与系统等相关专业课程的基础。学习复变函数与积分变换，即能巩固已学的课程知识，又为后面的进一步学习、继续深造打下了理论基础。最后，复变函数中的许多理论与方法给其他自然课程和各种工程领域如理论物理、弹性理论、天体力学等的几何定性研究方面有着广泛的应用。
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《复变函数与积分变换》第三版[PDF]
本资料所属分类：
更新时间：日
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电子书http://www.minxue.net:&复变函数与积分变换作者:& 华中科技大学数学系图书分类:&考试资源格式:&PDF版本:&第三版出版社:&华中科技大学数学系书号:&5地区:& 大陆语言:& 简体中文简介:&
内容介绍： 本书介绍复变函数与积分变换的基本概念、理论和方法。全书共分9章，主要内容包括：复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，解析函数的级数表示，留数及其应用，共形映射，解析函数在平面场的应用，傅里叶变换，拉普拉斯变换等。. 本书中每章的后面给出本章的小结及若干思考型题目，便于读者复习和总结；同时每章还配备了一定数量的习题并在书后给出习题的答案或提示。附录中附有傅氏变换简表和拉氏变换简表，可供学习时查用。.. 本书可作为高等院校工科类各专业学生的教材，也可供相关专业科技工作者和工程技术人员参考。内容截图：
第一章复数与复变函数.§1.1复数§1.2复数的三角表示§1.3平面点集的一般概念§1.4无穷大与复球面§1.5复变函数本章小结思考题习题第二章解析函数§2.1解析函数的概念§2.2解析函数和调和函数的关系§2.3初等函数本章小结思考题习题二第三章复变函数的积分§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理§3.3柯西积分公式.§3.4解析函数的高阶导数本章小结思考题习题三第四章解析函数的级数表示§4.1复数项 级数§4.2复变函数项级数§4.3泰勒(taylor)级数§4.4洛朗(laurent)级数本章小结思考题习题四第五章留数及其应用§5.1孤立奇点§5.2留数§5.3留数在定积分计算中的应用..§5.4对数留数与辐角原理本章小结思考题习题五第六章共形映射§6.1共形映射的概念§6.2共形映射的基本问题§6.3分式线性映射§6.4几个初等函数构成的共形映射本章小结习题六第七章解析函数在平面场的应用§7.1复势的概念§7.2复势的应用§7.3用共形映射的方法研究平面场本章小结思考题习题七第八章傅里叶变换§8.1傅里叶变换的概念§8.2单位冲激函数(6函数)§8.3傅里叶变换的性质本章小结习题八第九章拉普拉斯变换§9.1拉普拉斯变换的概念§9.2拉氏变换的性质§9.3拉普拉斯逆变换§9.4拉氏变换的应用及综合举例本章小结习题九附录1傅氏变换简表附录2拉氏变换简表习题答案
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相关学习资料《复变函数与积分变换》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程代码：110096
课程名称：复变函数与积分变换
英文名称：Function of
Complex Variable and Integral Transforms
课程类别：专业基础课
学 分：3
适用对象: 我院信息与计算科学专业
考核方式：考试（平时成绩占总成绩的百分比30％）
先修课程：高等数学
二、课程简介
中文简介 本课程主要讨论复变函数和积分变换，内容主要包括：复数运算、解析函数、初等函数、复变函数的积分理论、级数展开及留数理论、共形映射、拉普拉斯变换、富里叶变换．通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，为学习相关专业课及以后实际应用提供必要的基础。
英文简介 Function of Complex Variable and Integral Transforms is a required course for undergraduates in information sciences, mechanical and electrical engineering, computer science and engineering, resources and environmental sciences and light industry and food science. By taking this course，students should grasp the overall knowledge， fundamental principles and usual methods in Function of Complex Variable and Integral Transforms. They should also gain the ability problem solving. This cause includes as follow：Complex Numbers；Analytic Functions；Representation of Analytic Functions； Cauchy’s Theorem and Cauchy’s Integral Formula；The residue Theory；Conformal Mapping；The Laplace Transform and Applications；The Fourier Transform and Applications.
三、课程性质与教学目的
本课程为电子类、计算机类各专业及热能专业的基础课。要求学生掌握复分析及积分变换的方法。为适应诸多专业对复变函数理论的需求，学生必须熟练掌握：
1．复变解析函数理论；
2．复变函数的积分理论及留数理论；
3．拉氏变换与富氏变换理论。
学生还应掌握复变函数的一些基础理论，如调和函数理论，罗朗级数理论，共形映射理论。
四、教学内容及要求
复数与复变函数
（一） 目的与要求
1．理解区域，简单（闭）曲线，单连通域与多连通域，复变函数与映射的概念；
2．了解复球面，无穷远点，扩充复平面的概念；
3．熟练掌握复数的各种表示法（代数表示，指数表示与三角表示），乘积与商的模与幅角定理，乘幂的棣莫佛公式，复数的方根，掌握复变函数的极限和连续性的运算法则与性质及其与实变函数极限和连续性间的关系，复数形式的代数方程与平面几何图形。
（二） 教学内容
第一节 复数及其代数运算
1．主要内容
复数及其代数运算。
2．基本概念和知识点
复数的概念，复数的运算（四则运算）。
3．问题与应用（能力要求）
熟练掌握复数的四则运算。
第二节 复数的几何表示
1． 主要内容
复数的几何表示（代数表示，指数表示与三角表示），复数形式的代数方程与平面几何图形，复球面，无穷远点，扩充复平面。
2． 基本概念和知识点
复数的各种表示法，复球面，无穷远点，扩充复平面的概念。
3． 问题与应用（能力要求）
熟练掌握复数的各种表示法，掌握复数形式的代数方程与平面几何图形。
第三节 复数的乘幂与方根
1．主要内容
复数的乘幂与方根。
2．基本概念和知识点
复数的运算（四则运算）（De Moivre 公式）；复数的方根。
4． 问题与应用（能力要求）
熟练掌握复数的四则运算及复数的乘幂与方根。
第四节 区域
1．主要内容
2．基本概念和知识点
区域的概念；简单（闭）曲线，单连通域多连通域。
3．问题与应用（能力要求）
理解区域、简单（闭）曲线、单（多）连通域的概念。
第五节 复变函数
1．主要内容
复变函数的定义与映射的概念。
2．基本概念和知识点
复变函数的定义与映射的概念，复变函数与一元实函数的关系。
3．问题与应用（能力要求）
理解复变函数的定义与映射的概念。
第六节 复变函数的极限和连续性
1．主要内容
复变函数的极限和连续性。
2．基本概念和知识点
复变函数的极限和连续性的概念及其运算法则与性质，与实变函数极限和连续性间的关系。
3．问题与应用（能力要求）
掌握复变函数的极限和连续性的运算法则与性质。
（三） 课后练习
第一章习题 12),4)；2；46)；82),4) ,6)；10；123)；142),4)；15；212),4) ,6) ,8) ,9) ,10)；222),4) ,6) ,7) ,8) ,；23；252),4) ,6)；262),4)；27。
（四） 教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
（一）目的与要求
1．理解导数与微分及解析函数的概念，指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数、幂函数的定义及主要性质；
2．了解反三角函数、反双曲函数；
3．熟练掌握函数导数及解析的判别法。
（二）教学内容
第一节 解析函数的概念
1．主要内容
解析函数的概念。
2．基本概念和知识点
导数与微分及解析函数的概念。
3．问题与应用（能力要求）
理解导数与微分及解析函数的概念。
第二节 函数解析的充要条件
1．主要内容
函数解析的充要条件。
2．基本概念和知识点
函数解析的判别法。
3．问题与应用（能力要求）
熟练掌握函数导数及解析的判别法。
第三节 初等函数
1．主要内容
初等函数。
2．基本概念和知识点
各种初等函数的定义，多值函数。
3．问题与应用（能力要求）
理解初等函数的定义及主要性质。
（三）课后练习
第二章习题 22),4)；32),4)；42) 7；8；102),3) ,4)；122),3)；136)；142)；15；18；212)。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
复变函数的积分
（一）目的与要求
1．理解复积分的概念及性质，柯西―古萨基本定理，复不定积分与原函数的概念，牛顿―莱布尼茨公式，调和函数与解析函数的关系；
2．熟练掌握复积分计算的一般方法，灵活运用复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
（二）教学内容
第一节 复变函数积分的概念
1．主要内容
复变函数积分的概念及性质。
2．基本概念和知识点
复变函数积分的概念及性质。
3．问题与应用（能力要求）
理解复变函数积分的概念及性质。
第二节 柯西―古萨基本定理
1．主要内容
柯西―古萨基本定理。
2．基本概念和知识点
柯西―古萨基本定理。
3．问题与应用（能力要求）
熟悉柯西―古萨基本定理。
第三节 基本定理的推广―复合闭路
1．主要内容
基本定理的推广―复合闭路。
2．基本概念和知识点
柯西积分定理。
3．问题与应用（能力要求）
灵活运用复合闭路定理。
第四节 原函数与不定积分
1．主要内容
原函数与不定积分。
2．基本概念和知识点
原函数与不定积分的概念，牛顿―莱布尼茨公式。
3．问题与应用（能力要求）
理解原函数与不定积分的概念，牛顿―莱布尼茨公式。
第五节 柯西积分公式
1．主要内容
柯西积分公式。
2．基本概念和知识点
柯西积分公式。
3．问题与应用（能力要求）
灵活运用柯西积分公式。
第六节 解析函数的高阶导数
1．主要内容
解析函数的高阶导数。
2．基本概念和知识点
高阶导数公式。
3．问题与应用（能力要求）
熟练掌握高阶导数公式。
第七节 解析函数与调和函数的关系
1．主要内容
解析函数与调和函数的关系。
2．基本概念和知识点
调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系。
3．问题与应用（能力要求）
理解调和函数与解析函数的关系。
（三）课后练习
第三章习题 11),3)；2；5；62),4) ,6)；72),5) ,7) 9) ,10)；82),4) ,6)；92),4) ,5)；66)；23；302)。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
（一）目的与要求
1．理解复数项级数收敛、发散、条件收敛与绝对收敛的概念与性质，熟悉收敛的必要条件，阿贝尔Abel定理，幂级数的运算与性质，泰勒展开定理，双边幂级数的概念与性质，洛朗展开定理；
2．熟练掌握幂级数收敛半径的求法，熟悉 的泰勒展开式，熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数，把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数。
（二）教学内容
第一节 复数项级数
1．主要内容
复数项级数。
2．基本概念和知识点
复数项级数收敛、发散、条件收敛与绝对收敛的概念与性质，收敛的必要条件。
3．问题与应用（能力要求）
理解复数项级数收敛、发散、条件收敛与绝对收敛的概念与性质，熟悉收敛的必要条件。
第二节 幂级数
1．主要内容
2．基本概念和知识点
阿贝尔Abel定理，幂级数的运算与性质。
3．问题与应用（能力要求）
熟悉阿贝尔Abel定理，幂级数的运算与性质。
第三节 泰勒级数
1．主要内容
泰勒级数。
2．基本概念和知识点
泰勒展开定理。
3．问题与应用（能力要求）
熟悉 的泰勒展开式，熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。
第四节 洛朗级数
1．主要内容
洛朗级数。
2．基本概念和知识点
双边幂级数的概念与性质，洛朗展开定理。
3．问题与应用（能力要求）
熟练地把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数。
（三）课后练习
第四章习题 12),4)；32),4)；5；62),4) ,6)；9；112), 3),4) ,6) ,7)；122),4) ,6)；162),3) ,4) ,6)；192),4)。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
（一）目的与要求
1．理解孤立奇点的概念，熟悉可去奇点、极点与本性奇点的特征，函数的零点与极点的关系，理解留数的概念，函数在无穷远点的性态，在无穷远点的留数及留数在定积分计算上的应用；
2．熟练掌握留数的计算规则与求法，尤其是极点处的留数的计算。
（二）教学内容
第一节 孤立奇点
1．主要内容
孤立奇点。
2．基本概念和知识点
孤立奇点的概念，可去奇点、极点与本性奇点的特征，函数的零点与极点的关系，函数在无穷远点的性态。
3．问题与应用（能力要求）
理解孤立奇点的概念，熟悉可去奇点、极点与本性奇点的特征，理解函数的零点与极点的关系，函数在无穷远点的性态。
第二节 留数
1．主要内容
2．基本概念和知识点
留数的概念与计算规则。
3．问题与应用（能力要求）
理解留数的概念，函数在无穷远点的留数，熟练掌握留数的计算规则与求法。
第三节 留数在定积分计算上的应用
1．主要内容
留数在定积分计算上的应用。
2．基本概念和知识点
留数在计算三种类型实积分上的应用。
3．问题与应用（能力要求）
理解留数在定积分计算上的应用。
（三）课后练习
第五章习题 12),3), 4),5) ,6),8)；2；4；81), 2),4) ,5) ,7)；91), 2),3) ,5)；10 2),3)；12 1),3)；132), 4),6)。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
第六章 共形映射
（一）目的与要求
1．理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念；
2．了解唯一决定分式线性映射的条件，函数 与 所构成的映射的性质；
3．掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性，会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。
（二）教学内容
第一节 共形映射的概念
1．主要内容
共形映射的概念。
2．基本概念和知识点
解析函数导数的几何意义及共形映射的概念。
3．问题与应用（能力要求）
理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念。
第二节 分式线性映射
1．主要内容
分式线性映射。
2．基本概念和知识点
分式线性映射的性质。
3．问题与应用（能力要求）
掌握分式线性映射的保圆性及保对称性。
第三节 唯一决定分式线性映射的条件
1．主要内容
唯一决定分式线性映射的条件。
2．基本概念和知识点
唯一决定分式线性映射的条件。
3．问题与应用（能力要求）
了解唯一决定分式线性映射的条件。
第四节 几个初等函数所构成的映射
1．主要内容
函数 与 所构成的映射。
2．基本概念和知识点
函数 与 所构成的映射的性质。
3．问题与应用（能力要求）
了解函数 与 所构成的映射的性质，会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。
（三）课后练习
第六章习题 1；2；41)；82),4)；10；12；15 1),2)；162), 4)；17；18。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
Fourier变换
（一）目的与要求
1． 熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理，理解Fourier变换与逆变换的概念，单位脉冲函数的概念；
2．了解周期函数的Fourier级数及其复数形式，Fourier变换的物理意义―频谱，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的性质；
3．掌握一些函数的Fourier变换与逆变换的求法，Fourier变换与逆变换的性质。
（二）教学内容
第一节 Fourier积分
1．主要内容
傅里叶积分。
2．基本概念和知识点
Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
3．问题与应用（能力要求）
熟悉Fourier积分公式与Fourier积分存在定理。
第二节 Fourier变换
1．主要内容
傅里叶变换。
2．基本概念和知识点
傅里叶变换及其逆变换的概念，单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义―频谱。
3．问题与应用（能力要求）
理解傅里叶变换及其逆变换的概念，了解单位脉冲函数的性质，Fourier变换的物理意义―频谱。
第三节 Fourier变换的性质
1．主要内容
傅里叶变换的性质。
2．基本概念和知识点
傅里叶变换的性质。
3．问题与应用（能力要求）
掌握傅里叶变换的性质，一些函数的Fourier变换与逆变换的求法。
第四节 卷积与相关函数
1．主要内容
卷积与相关函数。
2．基本概念和知识点
卷积与相关函数的概念，卷积定理。
3．问题与应用（能力要求）
了解卷积与相关函数的概念，卷积定理。
（三）课后练习
习题一 21)；31),3)；4；习题二 1；31)；7；9； 习题三 2；3；4；7；8；10；112),4) 6),8)；习题四 16) 8)；2；52) 4) 5) 6)。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
Laplace变换
（一）目的与要求
1．理解Laplace变换及其逆变换的概念，熟悉拉氏变换的存在定理；
2．了解Laplace变换与Fourier变换的区别，周期函数的Laplace变换公式，拉氏反演积分，卷积的概念与卷积定理；
3．掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质求一些函数的Laplace变换，用留数求像原函数的方法，一些微分方程的拉氏变换解法。
（二）教学内容
第一节 Laplace变换的概念
1．主要内容
拉普拉斯变换的概念。
2．基本概念和知识点
Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的存在定理，Laplace变换与Fourier变换的区别。
3．问题与应用（能力要求）
理解Laplace变换及其逆变换的概念，拉氏变换的存在定理，了解Laplace变换与Fourier变换的区别。
第二节 Laplace变换的性质
1．主要内容
拉氏变换的性质。
2．基本概念和知识点
拉氏变换的性质。
3．问题与应用（能力要求）
掌握Laplace变换的性质及用Laplace变换的性质求一些函数的Laplace变换。
第三节 Laplace逆变换
1．主要内容
拉普拉斯逆变换。
2．基本概念和知识点
拉氏反演积分，用留数求像原函数。
3．问题与应用（能力要求）
了解拉氏反演积分，掌握用留数求像原函数。
第四节 卷积
1．主要内容
2．基本概念和知识点
卷积的概念与卷积定理。
3．问题与应用（能力要求）
了解卷积的概念与卷积定理。
第五节 Laplace变换的应用
1．主要内容
拉氏变换的应用。
2．基本概念和知识点
微分方程的拉氏变换解法。
3．问题与应用（能力要求）
掌握一些微分方程的拉氏变换解法。
（三）课后练习
习题一 12) ,4), 6), 8)；42),4)；习题二 12), 4), 6), 8) ,10)；31),2) ,4)；42),3)；52),4) ,6) ,8) ,10)；62),4) ,6) ,8)；71)； 习题三 22),4) ,6) ,8) ,10)；32),4) ,6) ,8)；习题四 12) ,4) ,6)；2；4；习题 12) ,4), 6), 8), 10), 14)；22) ,4), 6)；32) ,4)；42) ,4), 6)；51),2)。
（四）教学方法与手段
启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。
五、各教学环节学时分配
六、推荐教材和教学参考资源
(1)西安交通大学数学教研室编，复变函数（第四版），北京：高等教育出版社，1996。
(2)东南大学数学系张元林编，积分变换（第四版），北京：高等教育出版社，2003。
教学参考资源：
华中理工大学数学系，《复变函数与积分变换》，北京：高等教育出版社，1997年。
七、其他说明
大纲修订人：贺铁山 修订日期：
大纲审定人：孙昭洪 审定日期：
版权所有：仲恺农业技术学院计算科学系
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复变函数与积分变换(第二版)
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复变函数与积分变换(第二版)(图1)
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