考试大纲(数一线代)
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考试大纲(数一线代)
一、行列式
行列式的定义、性质和计算
1．了解行列式的定义和性质。2．掌握三阶、四阶行列式的计算法，会计算简单的”阶行列式。
矩阵的概念单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵等价矩阵的秩初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法分块矩阵及其运算
1．理解矩阵的概念。2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。6。了解分块矩阵及其运算。
向量的概念向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间、子空间、基底、维数及坐标等概念N维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性元关向量组的正交规范化方法标准正交基正交矩阵及其性质考试要求
1．理解n维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性尤关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。4.了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。5.了解N维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。6.掌握基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特（SCHMIDT）方法。8．了解标准正交基、正交矩阵的概念，以及它们的性质。四、线性方程组
线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解行初等变换求解线性方程组的方法
1.理解克莱姆法则。理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。3．理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。4；理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。5．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。
五、矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件实对称矩阵的相似对角矩阵
<1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2．了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。
六、二次型
二次型及其矩阵表示二次型的秩惯性定理用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型和对应矩阵的正定性及其判别法考试要求掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解惯四、随机变量的数字特征
( ,17:39 )
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矩阵特征问题的计算方法|矩&#8203;阵&#8203;特&#8203;征&#8203;问&#8203;题&#8203;的&#8203;计&#8203;算&#8203;方&#8203;法
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逆矩阵存在的充要条件
在高中生能力范围内解释．不胜感激．,
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只要这个矩阵转化为行列式的值不等于0就行了。,
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即矩阵的行列式不为零,矩阵非奇异,
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出门在外也不愁2004年高等教育自学考试网上辅导《高等数学(二)》
第二章　矩　阵
　　矩阵是线性代数的一个重要的基本概念和工具，广泛应用于自然科学的各个分支及经济分析、经济管理等许多领域。在这一章里，我们将介绍矩阵的运算，方阵的行列式，可逆矩阵，矩阵的初等变换等关于矩阵的基本理论。这些内容是学习后面各章节的重要基础。
　　内容提要
　　矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、矩阵的转置、方阵乘积的行列式、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价、分块矩阵及其运算
　　学习要求
　　1.理解矩阵的概念，了解常见的矩阵，如：单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵的定义和性质，了解对称矩阵和反对称矩阵的定义和性质。
　　2.掌握矩阵的线性运算、乘法，以及它们的运算规律，掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式的性质。
　　3.掌握逆矩阵的概念，学会判断矩阵是否可逆的方法；掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。
　　4.掌握矩阵的三种初等变换与初等矩阵的定义，初等变换与初等矩阵的关系，熟练掌握矩阵初等变换的方法，及变换后的矩阵与原矩阵的等价的关系，理解矩阵的秩的概念，熟练掌握初等变换法求矩阵的逆和秩。
　　5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。
　　概念部分解释
　　矩阵的概念
　　定义 m×n个元素按一定顺序排列成m行n列所形成的数表，称为m×n矩阵。记作
　　其中称矩阵的第i行第j列的元素，(i=1，2，…，m
j=1，2，…，n )
　　矩阵用大写英文字母表示：A，B ，C，…；
　　为了指明矩阵的行数和列数通常记作，或。
　　当m=n时，称矩阵A为n阶矩阵或n阶方阵，记做。
　　显然，一阶矩阵就是一个数。
　　[注意]：矩阵与行列式有本质上的区别：
　　行列式本身是一个运算规则，一个数字行列式通过计算可求得其值；
　　而矩阵仅仅是一个数表，矩阵的行数和列数可以不同。对于n阶方阵A，虽然有时也要算它的行列式，但是方阵A和方阵行列式是两个不同的概念。
　　几种特殊矩阵：
　　（1）单位矩阵 主对角线上的元素都为1，其余元素都为零的方阵称单位矩阵，记作：
　　（2）三角矩阵：主对角线下方元素全为零的方阵称为上三角矩阵；
　　主对角线上方元素全为零的方阵称下三角矩阵，上（下）三角矩阵统称三角矩阵。记作：
　　（3）对角矩阵：除主对角线上的元素外，其它元素都为零的方阵，称对角矩阵。记作：
　　（4） 数量矩阵
　　对角线元素都相同，其余元素都为零的矩阵，称为数量矩阵，
　　（5）行矩阵
　　（6）列矩阵：
　　（7）零矩阵：矩阵的元素如果全为零，称为零矩阵，记作：
　　（8）对称矩阵
　　如果n阶矩阵的元满足则称A为n阶对称矩阵，
　　例如：
　　 就是一个3阶对称矩阵。
　　（9）反对称矩阵
　　如果n阶矩阵的元满足，则称A为n阶反称矩阵。
　　据此，反称矩阵的主对角线上的元也应满足。例如：
　　就是一个3阶反称矩阵。
　　例：含有n个未知量、m个方程的线性方程组
　　如果把它的系数和常数项按原来顺序写出，就可以得到一个m行、n+1列的数表
　　那么，这个数表就可以清晰地表达这一线性方程组。
　　矩阵的运算
　　（1）矩阵的相等
　　设矩阵，如果满足m＝s，n＝r，且，则称矩阵A与B相等，记作A＝B。
　　例：设矩阵
　　矩阵加法的图示：
　　矩阵的加法满足以下四条运算法则：
　　（1）交换律：A+B=B+A；
　　（2）结合律：（A+B）+C＝A+（B+C）；
　　（3）A+0=0+A=A；
　　（4）设，称矩阵
　　为A的负矩阵，记作-A，显然有：
　　A+（-A）=（-A）+A＝0
　　由此可定义矩阵的减法
　　上述各式中A、B、C均为m×n矩阵，O为m×n零矩阵。
　　例：设A=(1,-2,3)，B=(1,1,-1)
　　则A-B=A+(-B)=(1,-2,3)+(-1,-1,1)=(0,-3,4)。
　　数与矩阵相乘
　　定义：设为数域F上的矩阵，k是数域F中的数，用数k乘以矩阵A的每个元素所得到的矩阵
　　 称为数k与矩阵A的乘积（或数k与矩阵A的数乘），
　　记作：
　　数与矩阵的乘法具有以下运算法则：
　　其中A，B为数域F上的m×n矩阵
　　由定义可知，A的负矩阵-A也可以看作是用-1乘以A，即-A＝（-1）A。当矩阵A的所有的元素都有公因子k时，可将k提到矩阵外面，
　　例如：
　　例：已知矩阵
　　解：由A+2X＝B，得x＝1/2（B-A）。因为：
　　矩阵的乘法
　　这是本节的重要内容
　　定义：设矩阵，则矩阵A与B的乘积矩阵，其中
　　 ，用下图来表示C＝AB。
　　矩阵乘法的性质
　　设下列运算均可以进行
　　（1）(AB)C=A(BC)
　　（2）(A+B)C=AC+BC
　　（3）C(A+B)=CA+CB
　　（4）k(AB)=(kA)B=A(kB)
　　（1）两矩阵相乘，左边矩阵的列数必须与右边矩阵的行数相同，乘法才是可以进行的，否则乘法不可以进行。
　　（2）&乘积矩阵&的行数等于左边矩阵的行数，&乘积矩阵&的列数等于右边矩阵的列数。
　　（3）&乘积矩阵&第i行第j列元素等于左边矩阵第i行各元素与右边矩阵第j列各对应元素乘积的总和。
　　矩阵乘法不满足交换律。
　　BA不可进行，即使AB与BA都可进行，AB与BA也不一定相等。
　　显然易见：AB≠BA。又例如：
　　（2）如果AB=BA,称A,B乘法可交换。
　　（3）矩阵乘法不满足消去律
　　（4）两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵。
　　解：A为1×3矩阵，B为3×1矩阵，于是AB应为1×1矩阵，即：
　　类似：
　　AB为一阶矩阵，而BA为n阶矩阵
　　例：设矩阵
　　分别用左乘A，用右乘A，有
　　可见，单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的乘法中的作用
　　（1）只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A,B才能作乘法运算C=AB；
　　（2）两个矩阵的乘积C=AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数
　　（3）乘积矩阵C=AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列法则。
　　矩阵的幂
　　设，则称为矩阵A的k次幂
　　显然矩阵的方幂运算的前提条件是：矩阵必须是方阵。
　　例题：
　　矩阵的转置
　　设矩阵为矩阵A的转置矩阵。
　　矩阵的转置满足性质：
　　例题：设矩阵
　　矩阵的行列式：
　　对同阶矩阵A与B，有
　　逆矩阵的概念：
　　可逆矩阵
　　设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆矩
　　阵；B称为A的逆矩阵，记作A-1。
　　从定义中可知：
　　（1）A与B可交换，因此可逆矩阵A一定是方阵，换句话说，如果一个矩阵不是方阵，则它一定不可逆。并且与A可交换的矩阵B是与A同阶的方阵
　　（2）如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵一定是唯一的。这是由于，如果设B与B1都是A的逆矩阵，则B与B1均满足（1.6）式，
　　AB=BA=E，AB1=B1A=E，
　　从而有
　　B=BE=B(AB1)=(BA)B1=EB1=B1
　　由此推出B1=B
　　（3）当A可逆时，
　　说明当A可逆时也可逆，并且
　　例1：单位矩阵E可逆，因为EE=E，即
　　说明：两个方阵乘积为单位阵，则其中一个方阵必是另一方阵的逆反矩阵。
　　可逆矩阵的性质：
　　性质1：如果A，B均为n阶可逆矩阵，则AB也可逆，并且。
　　证明　由于故由定理的推论知，
　　性质1可以推广到多个可逆矩阵相乘的情况：即如果n阶矩阵都可逆，则也可逆，并且。
　　性质2：如果矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，并且。
　　证明　由于，所以可逆，并且。
　　性质3：如果矩阵A可逆，则对于非零常数k，kA也可逆，并且。
　　性质3的证明方法与上面两个性质类似。
　　性质4　如果矩阵A可逆，则
　　矩阵可逆的充要条件：
　　如果n阶矩阵A的行列式不等于零，即称矩阵A是非退化的（非奇异）。
　　否则称矩阵A是退化的。
　　利用伴随矩阵求逆矩阵的方法：
　　定义：设的代数余子式，矩阵：
　　称为矩阵A的伴随矩阵，记作。
　　类似我们可以得到:
　　于是有重要的定理：
　　n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非奇异（非退化），
　　而且当A可逆时，有。
　　推论：设A，B均为n阶矩阵，并且满足AB＝E，则A，B都可逆，且。
　　例：设
　　，试判定当a，b，c，d满足什么条件时，A可逆，又当A可逆时，求
　　解：由定理可知A可逆的充分必要条件是矩阵A非奇异，于是有
　　例：判定矩阵
　　，是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵
　　解：由于
　　故A可逆，并且
　　例：已知三阶矩阵A的逆矩阵为：
　　解：由逆矩阵的关系式，当时，有
　　于是有
　　因为，所以有
　　 ，于是
　　矩阵的初等变换．
　　初等变换与初等矩阵的概念．
　　矩阵的初等变换法共有三种：
　　①交换矩阵的某两行（或列）；
　　②用非零常数乘矩阵的某行（或列）；
　　③将矩阵的某行（或列）的k倍或加到另一行（或列）。
　　定义由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
　　对应于三种初等变换，可以得到三种初等矩阵。
　　例如，对于三阶单位矩阵
　　交换E3的第一、二行（或列），得到初等矩阵
　　将E3的第三行乘以常数-1/3，得到初等矩阵
　　将E3的第一行（-2）倍加到第二行（或将E3第二列（-2）倍加到第一列），得到初等矩阵
　　一般地，对于n阶单位矩阵E，有：
　　（1）交换E的第i、j行（列）（i&j），得到的初等矩阵记作P（i,j），
　　（2）用非零常数k乘以E的第i行（列），得到的初等矩阵记作P（i（k）），
　　（3）将E的第j行的k倍加到第i列（或第i列的k倍加到第j列）（i&j），得到的初等矩阵记作P（i,j（k）），
　　例如：
　　（1）对换矩阵A的第一行和第二行的位置
　　（2）用一个非零数k乘矩阵A的第三行
　　（3）用一个数k乘矩阵A的第一行加到第二行
　　初等矩阵与初等变换的关系：
　　初等矩阵具有以下性质：
　　（1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵
　　（2）初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵，其中：
　　矩阵的初等变换和初等矩阵有着非常密切的关系
　　定理：
　　（1）对A进行一次行初等变换，相当于用一个m阶的初等矩阵左乘A
　　（2）对A进行一次列初等变换，相当于用一个n阶的初等矩阵右乘A
　　定理说明：设矩阵，对A施行一次行变换，就相当于在矩阵A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，就相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵。
　　例如：设矩阵
　　由此可见，矩阵A左乘以上三种矩阵，等于分别使A作了第一、第二行互换，第三行乘数k，第一行乘数k加到第二行上等三种初等变换。而左边所乘的三个三阶矩阵恰好是对单位矩阵作同样的初等变换（即对A作的三种行变换）得到的
　　分别将A的第一行、第二行互换和将A的第一列的-2倍加到第二列，求出对应的初等矩阵，并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。
　　解 交换A的第一行、二行，
　　左乘A：
　　将A的第一列的-2倍加到第二列，
　　矩阵等价的概念和性质：
　　等价标准形
　　定义　如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的。
　　定理　任意矩阵A都与-个形如
　　的矩阵等价。这个矩阵称为矩阵A的等价标准形
　　例：对于矩阵
　　故A的等价标准形为
　　推论1 对于任意m x n矩阵A，存在m阶初等矩阵和n阶初等矩阵
　　使得，令由于初等矩阵是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此P，Q为可逆矩阵。
　　推论2 对于任意m x n矩阵A ，存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得
　　如果，由此推出
　　于是r = n
　　即有：
　　推论3：n阶矩 阵A可逆的充分必要条件是A的等价标准形为En。
　　推论4：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
　　这是由于：A可逆的充分必要条件是存在n阶初等矩阵。
　　和，使得
　　而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有
　　初等变换法求逆矩阵
　　求逆矩阵的初等变换法
　　设A为n阶可逆矩阵，则也是n阶可逆矩阵。因此由定理的推论4，可以表为有限个初等矩阵的乘积，设存在n阶初等矩阵,使
　　比较式③与式②可以看出：当矩阵A进行有限次行初等变换，将A化为单位矩阵E时，对单位矩阵E进行与A相同的行初等变换，就可以将E化为。
　　于是，我们可以采用下列形式求：将A与E并排放在一起，组成一个n×2n矩阵
,对矩阵作为一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E，这时其右半部分就是,即
　　例：设
　　例：设
　　矩阵的秩
　　定义：矩阵A的秩等于A的不等于零的最高阶子式的阶数，记作r(A)。
　　①矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
　　②初等变换化阶梯后的变换矩阵的非零行数即为A的秩数。
　　③矩阵的等价标准形中的r阶单位阵,其中的r就是矩阵的秩数。
　　定理：设A为任意一个m×n矩阵，则
　　定义：设A是n阶矩阵，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵，或称A为非奇异的。
　　例：判断下列矩阵是否为满秩矩阵。
　　（1）因为：
　　即r(A)=3，所以三阶矩阵A是满秩矩阵。
　　（2）因为
　　即r(B)=3，所以四阶矩阵B不是满秩矩阵。
　　例：求矩阵A的秩，其中
　　解：对矩阵A仅施以初等行变换，化为阶梯形矩阵
　　在最后的阶梯形矩阵中，有二阶子式
　　 ，而A的所有三阶子式都等于零。
　　于是r(A) = 2。
　　[注] 初等变换化阶梯后的变换矩阵的非零行数即为A的秩数。此例的变换矩阵只有两个非零行，于是。
　　例 求矩阵
　　（1）计算矩阵的各阶子式，求其子式不为零的最高阶数；
　　（2）将矩阵进行初等变换，求矩阵的秩；
　　（3）计算矩阵的行秩或列秩。
　　解 （1）用子式来做
　　， 故此矩阵秩为3.
　　（2）用初等变换来做
　　易见新矩阵
　　 的前三行前三列构成的行列式为-5，即变换后的矩阵的秩
　　为3，故原矩阵秩为3.
　　（3）计算矩阵的行秩或列秩
　　从上可知，向量 是线性无关的，即矩阵的行向量组的秩为3，因此原矩阵的秩为3。
　　分块矩阵的概念：
　　分块矩阵的运算及对角形分块矩阵的逆矩阵的求法．
　　分块矩阵
　　将矩阵A根据需要分成若干&子块&，使得矩阵A是由若干小矩阵构成，
　　在运算中，将这些小矩阵当作数一样来处理，称这样的矩阵为分块矩阵。
　　①加法：设A、B都是m×n矩阵，将它们分块为且它们的行列分法一致。
　　即A与B的代数和等于两矩阵对应小块的代数和。
　　②数乘：设
　　c为常数则：
　　即用常数c去乘矩阵A的每一小块矩阵。
　　③乘法：设
　　将A、B分块为
　　且矩阵A的行分法与矩阵B的列分法一致，则其中
　　④若矩阵A，B都可逆，则有分块矩阵的逆矩阵为：
　　将这一结果推广到更一般的情况，若准对角矩阵
　　例题：用分块法，按下列分块方式求其逆
　　例：设分块矩阵
　　其中A为k阶可逆阵，B为r阶可逆阵，
　　C是r×k矩阵，O是k×r阶零矩阵，证明：D可逆，并求
　　解：设D可逆且
　　其中X、Y分别为与A；B同阶的方阵，则有
　　于是有
　　矩阵方程
　　带有未知矩阵的等式称矩阵方程。常见的形式有：
　　（1）AX=B
　　（i）若A可逆则
　　或用初等变换法：
　　（）（其中X=A-1B）
　　（）若A不可逆，则需设出未知矩阵X=（xij）利用矩阵乘法与矩阵相等，
　　找出相应的线性方程组，然后逐个解出，最后确定出X=（xij）
　　（2） XA=B
　　（）若A可逆，则X=BA-1或用初等变换法：
　　（） 。 （其中X=BA-1）
　　（）若A不可逆时，仍需设出未知矩阵X=（xij）利用矩阵乘法与矩阵相差
　　找出相应线性方程组，然后逐个求解，最后确定出未知矩阵X=(xij).
　　（3） AXB=C
　　（）若A，B可逆，则
　　（）若A，B不可逆时，仍需设X=(xij),方法同1，2。
　　例：求解矩阵方程
　　解：由于AX=0中，A不可逆，故只解令
　　故矩阵方程的解为
　　解（三）
　　例：求解矩阵方程AX=A+2X，其中
　　解 由AX=A+2X可得（A-2E）X=A
　　故A-2E可逆。
　　从而X=。
　　构造3×6矩阵（A-2E，A），并对其进行初等变换：
　　由此得到
　　典型例题与题型
　　题型1：矩阵函数的求法
　　例：设
　　解：，
　　题型2：求乘积的可交换矩阵
　　例 若AB=BA，则B与A可交换，设
　　，求所有与A乘积可交换的矩阵。
　　解：设
　　由AB=BA，得
　　∴所有与A可交换的矩阵为
　　题型3：求矩阵的秩
　　题型4 求逆矩阵
　　方阵A可逆的充分必要条件是A非奇异
　　而且当A可逆时，有
　　可逆矩阵有如下性质：
　　④如果A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，而且；
　　⑤如果A可逆，则AX=B有唯一解：
　　用初等变换法求逆矩阵的规则：设矩阵A是一个可逆矩阵，利用可逆矩阵可以
　　经过一系列初等行（列）变换化成单位矩阵的结论，对n×2n矩阵
　　求逆矩阵可以采用伴随矩阵，利用公式
　　求解；
　　例：求矩阵
　　的逆矩阵A－1
　　解 ： （方法一）用初等变换法来求逆矩阵
　　（方法二）：用伴随矩阵来计算逆矩阵
　　题型5：矩阵的等价标准形
　　题型6：分块矩阵的计算
　　例3用分块矩阵的乘法求AB，其中
　　例：设
　　 ，且及存在，求。
　　解 由于A，C可逆，则有，，但|X|与|A|、|C|最多只差一个符号，故
　　即X可逆，设
　　得D = 0，，，G
　　于是有：
　　例：设
　　解：令
　　题型7 矩阵方程的求解
　　例 已知X=AX+B，其中
　　，求矩阵X。
　　解：以E表示三阶单位矩阵，由X=AX+B1有（E-A）X=B 即
　　其逆矩阵为
　　于是 X=
　　例：设矩阵方程AX=B，其中
　　 ，求矩阵X。
　　解：用初等变换法求解：
　　[注]：此题也可以由AX=B且A可逆，于是，同样可以得出上述结论，但上述解法更为简便。
　　例：设AX=E，
　　 , 求X。
　　解：这是一个矩阵方程，且A不可逆，于是设矩阵
　　得出方程组：
　　令(任意常数) 令(任意常数)
　　综上所述有
　　题型8：证明题
　　例 1 设A，B为n阶方阵且，求证：当且仅当
　　证明：∵A、B均为n阶方阵且　∴B=2A-E
　　当时，
　　当时，
　　∴ 当且仅当
　　例2：设矩阵A可逆，求证也可逆，并求出。
　　证明：由于A可逆，故，因为于是有
　　，即A*可逆，并且。
　　例3：设A为对称矩阵且非奇异，求证：A-1也是对称矩阵。
　　证明：∵ A为对称矩阵，∴，又A非奇异，即A可逆，由，即也是对称矩阵。
　　注：逆矩阵的性质：。
　　例设A为m×n矩阵，求证：都是对称矩阵。
　　证明：∵
　　都是对称矩阵。
　　试题分析：
　　选择题
　　设A、B均为同阶矩阵，则等式（ B ）不成立。
　　则伴随矩阵 （ D ）
　　设 是同阶可逆矩阵，则矩阵方程
　　例　矩阵
　　的秩为（ C ）。
　　（A）　0　　　　　　　　（B）　1
　　（C）　2　　　　　　　　（D）　3
　　设 为 的伴随矩阵，则
　　[分析]∵
　　故应填（ D ）
　　设 （n≥2）非奇异、 为
的伴随矩阵，则（ C ）
　　设（n≥2）非奇异、
为 的伴随矩阵，则（
　　设 可逆， 为
伴随矩阵。
　　[分析]：因为
　　故应填（ B ）
　　设 为 的伴随矩阵则
　　[分析]： 因为
　　设A和B均为n×n矩阵，则必有[ C ]
　　　　　
　　　　　　　
　　设A为n阶方阵，且A的行列式 ，而
是A的伴随矩阵，则 等于[
　　　　　　　　
　　　　　　　
　　计算题
　　例 设三阶方阵
　　解：可以看出r(A)=3，即A可逆。
　　由A可逆必有 可逆。
　　（也可由 得两端右乘A,
　　例　分块法，按下列分块方式求其逆
　　解：设
　　∵ D=（1）=1由DD-1=E=（1）=1，得D-1=1
　　例　用分块法，按下列分块方式求其逆
　　解：设
　　证明题
　　1.设A、B为n阶矩阵，P为非奇异矩阵，且满足
　　证明：∵A,B为n阶矩阵，P为非奇异矩阵，满足
　　∴ ，证毕
　　2.设n阶方阵A可逆且AB＝AC，求证：B＝C
　　证明：∵n阶方阵A可逆且AB＝AC，在其等号两边左乘 得
，即IB＝IC，即B＝C，证毕。
　　3.设方阵A、B满足AB＝E，求证：A、B均可逆。
　　证明：∵A、B是方阵，且AB＝E
　　∴ 均不为零，即A、B均可逆。
　　4.设n阶方阵A可逆，求证 也可逆，并求的逆矩阵
　　证明：∵A可逆，
　　进而有
　　即也可逆，由
　　综合题
　　例 设n阶方阵A满足
　　证明：A是可逆矩阵。并写出
　　证明：由已知条件有 　则
　　两端同除-c得出 ，左边提出A得：
　　变形后，得 可见A可逆且
　　本章总结
　　概念部分
　　本章主要介绍了矩阵的基本概念和基本运算方法。在这些概念中，应注意以下几点：
　　矩阵的运算
　　（1） 矩阵的和与差：设 ，则
　　（2） 数与矩阵的积：设k为实常数，
　　（3） 矩阵与矩阵的积：设 ，则矩阵A与B的积
　　,其中元素为
　　（i =1，2…m；j
=1，2… ）
　　（4）矩阵运算的性质：
　　① 矩阵加法满足
　　结合律：（A+B）+C=A+（B+C）； 交换律：A+B=B+A
　　② 矩阵乘法满足
　　结合律：（AB）C=A（BC）
　　③ 矩阵的乘法和加法满足
　　分配律：A（B+C）=AB+AC； （B+C）A=BA+CA
　　④ 矩阵的数量乘积满足（k、l为实常数）
　　k(AB)=(kA)B=A(kB)　
　　⑤ 矩阵的乘法不满足乘法交换律 即AB≠BA
　　矩阵不满足消去律 即当 AB=AC时，推不出B=C。
　　3.矩阵的幂
　　设 , 则称 为矩阵A的k次幂。
　　4.矩阵的转置
　　设 ，则记 为矩阵A的转置矩阵。
　　矩阵的转置满足性质：
　　5.矩阵的初等变换（矩阵的初等变换法共有三种）：
　　①交换矩阵的某两行（或列）；
　　②用非零常数乘矩阵的某行（或列）；
　　③将矩阵的某行（或列）的k倍或加到另一行（或列）。
　　6.逆矩阵 设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵；B称为A的逆矩阵，记作A-1 。
　　如果n阶矩阵A的行列式不等于零，即 称矩阵A是非退化的（非奇异），则A可逆。
　　方阵A非退化的充分必要条件是A可表示为若干初等矩阵的乘积
　　7.伴随矩阵：如果 ，元素
的代数余子式 的转置称为方阵A的伴随矩阵，
　　记作 。
　　伴随矩阵有如下重要性质：
　　可逆矩阵有如下性质：
　　① ； ② ；
　　④如果A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，而且
　　⑤如果A可逆，则AX =B 有唯一解：
　　重要定理与结论
　　n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非奇异（非退化），而且当A可逆时，有
补充资料：
放在矩阵的方幂定义的后面：
　　当 时，规定
，显然有 ，
　　其中是任意正整数，由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地
　　例 设矩阵
　　求幂矩阵 ，其中m是正整数。
　　解 因为，当 时，
　　设时，
　　则当时，
　　所以，由归纳法原理可知
　　放在矩阵的转置定义的例题后面：
　　例　设矩阵
　　写出它们的转置矩阵，并求 和
　　解 因为
　　即行矩阵的转置矩阵是一个列矩阵。
　　又因为
　　 ，所以
　　放在矩阵的证明题的后面：
　　例设 都是n阶对称矩阵，试证：
　　（1） 也是对称矩阵；
　　（2） 是对称矩阵的充分必要条件是A与B乘法可交换。
　　（1）因为 ，且
　　所以是对称矩阵。
　　（2）必要性：设AB是对称矩阵，即 因为
　　所以矩阵A与B是乘法可交换的。
　　充分性：设矩阵A与B是乘法可交换的，即AB=BA。因为
　　所以AB是对称矩阵。
　　例 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，即试证：
　　（1）是对称矩阵；（2）是反对称矩阵。
　　是对称矩阵。
　　（2）且
　　是反对称矩阵。