（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过点A1画AC1的平行线分别交y轴和抛物线于点B1、C2，连结C1B1并延长交抛物线于点A2，…，依次得到四边形，记四边形AnBnCnBn-1的面积为Sn．（1）求证：四边形ABCP是菱形．（2）设∠A1B1C1=a，且90°＜a＜120°，求m的取值范围．（3）当m=1时，①填表：
{[序号][][][][…][][四边形的面积][][][][…][]}②是否存在2个四边形，他们的面积Sp、Sq满足：Sp×Sq=214（p＜q）？若存在，求p、q的值；若不存在，请说明理由．-乐乐题库
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（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=14x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过点A1画AC1的平行线分别交y轴和抛物线于点B1、C2，连结C1B1并延长交抛物线于点A2，…，依次得到四边形，记四边形AnBnCnBn-1的面积为Sn．（1）求证：四边形ABCP是菱形．（2）设∠A1B1C1=a，且90°＜a＜120°，求m的取值范围．（3）当m=1时，①填表：
序号&S1&S2&S3&…&Sn&四边形的面积&&&&…&&②是否存在2个四边形，他们的面积Sp、Sq满足：Sp×Sq=214（p＜q）？若存在，求p、q的值；若不存在，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-江东区模拟
分析与解答
习题“（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过...”的分析与解答如下所示：
（1）根据AB∥PC，AP∥BC可知四边形ABCP是平行四边形，再由AP=CP即可得出结论；（2）由AC1∥A1C2，A1C∥A2C1，可知∠A1B1C1=∠ABC，再由四边形ABCP是菱形可知∠ABC=2∠OBC，因为90°＜∠A1B1C1＜120°故45°＜∠OBC＜60°，再由B（0，m2），C（2m，0）可知tan∠OBC=2m，故可得出结论；（3）①根据梯形的面积公式即可得出结论．根据Sp=4（p+1）2，Sq=4（q+1）2即可得出结论．
解：（1）∵AB∥PC，AP∥BC，∴四边形ABCP是平行四边形，∵AP=CP，∴四边形ABCP是菱形；（2）∵AC1∥A1C2，A1C∥A2C1，∴∠A1B1C1=∠ABC，∵四边形ABCP是菱形，∴∠ABC=2∠OBC，∵90°＜∠A1B1C1＜120°，∴45°＜∠OBC＜60°，∵B（0，m2），C（2m，0），∴tan∠OBC=2m，∴1＜2m＜√3，解得2√33＜m＜2；（3）①序号&S1&&S2&&S3&…&&Sn&四边形的面积&&16&&36&&64&…&&4（n+1）2&②∵Sp=4（p+1）2，Sq=4（q+1）2，∴SpoSq=24（p+1）2（q+1）2=214，∴（p+1）2（q+1）2=210，∴（p+1）（q+1）=25，∴{p+1=2q+1=24或{p+1=22q+1=23，∴{p=1q=15或{p=3q=7．
本题考查的是二次函数综合题，根据题意找出规律是解答此题的关键．
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（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点...
错误类型：
习题内容残缺不全
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经过分析，习题“（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过...”相似的题目：
如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，-4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90&后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B．（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0），点N（0，6）．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N=>O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．（2）当t为何值时，PQ与l平行．&&&&
在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x=3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．（1）求△ABC面积；（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．&&&&
“（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过点A1画AC1的平行线分别交y轴和抛物线于点B1、C2，连结C1B1并延长交抛物线于点A2，…，依次得到四边形，记四边形AnBnCnBn-1的面积为Sn．（1）求证：四边形ABCP是菱形．（2）设∠A1B1C1=a，且90°＜a＜120°，求m的取值范围．（3）当m=1时，①填表：
{[序号][][][][…][][四边形的面积][][][][…][]}②是否存在2个四边形，他们的面积Sp、Sq满足：Sp×Sq=214（p＜q）？若存在，求p、q的值；若不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“（2013o江东区模拟）如图，抛物线y=1/4x2-m2（m＞0）与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点P，连结PA、PC，过点A画PC的平行线分别交y轴和抛物线于点B、C1，连结CB并延长交抛物线于点A1，在过点A1画AC1的平行线分别交y轴和抛物线于点B1、C2，连结C1B1并延长交抛物线于点A2，…，依次得到四边形，记四边形AnBnCnBn-1的面积为Sn．（1）求证：四边形ABCP是菱形．（2）设∠A1B1C1=a，且90°＜a＜120°，求m的取值范围．（3）当m=1时，①填表：
{[序号][][][][…][][四边形的面积][][][][…][]}②是否存在2个四边形，他们的面积Sp、Sq满足：Sp×Sq=214（p＜q）？若存在，求p、q的值；若不存在，请说明理由．”相似的习题。如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．
①求证：△AOC∽△DCB；
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．
（1）因为抛物线经过点A和点C，所以把点A和点C的坐标代入抛物线的解析式中得到关于b和c的方程，联立解出b和c，即可得到抛物线的解析式，又因为点B是抛物线与x轴的另一交点，令y=0即可求出点B的坐标．
（2）①根据（1）中求出的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，根据OC与OB相等且互相垂直得到三角形COB为等腰直角三角形，得到角OCB为45°，根据勾股定理分别求出CD和BC的长，求出CD与CB的比值及OA与OC的比值，发现两比值相等，且由角DCy与角BCO都等于45°，推出角DCB为90°，而角COA也为90°，根据两边对应成比例且夹角相等，得到两三角形相似，得证；
②考虑两种情况，当P在x轴上（B的右边），且角ACP为直角时，三角形ACP与三角形DCB，相似比为AC比CD，所以AP比DB也等于相似比即可求出AP的长，进而求出P的坐标；当P在y轴的负半轴上时，角CAP为直角，AC比BC为相似比，斜边CP与DB之比等于相似比即可求出CP的长，进而求出P的坐标；写出P的两种情况的坐标即可；
③若四边形QBQ’C为菱形，根据菱形对角线的性质得到QQ′垂直平分BC，得到点Q在线段BC的垂直平分线上，由OB等于OC得到直线QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式为y=x，将y=x与抛物线的解析式联立即可求出Q的坐标．
解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
令y=0，即-x2+2x+3=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；
（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=，BC=．
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合条件的点P有两个：P1（9，0）或P2（0，）；
（3）若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，
∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∴直线QQ’平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴-x2+2x+3=x，
∴Q（，）或（，）．教师讲解错误
错误详细描述：
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(－6，0)，B(4，0)，C(0，8)，把△ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线y＝ax2－10ax＋c经过点C，顶点M在直线BC上．(1)证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；(2)求抛物线的对称轴和函数表达式；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)证明：∵A(－6，0)，B(4，0)，C(0，8)，∴AB＝6＋4＝10，，∴AB＝AC，由翻折可得，AB＝BD，AC＝CD，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，∵C(0，8)，∴点D的坐标是(10，8)；(2)∵y＝ax2－10ax＋c，∴对称轴为直线．设M的坐标为(5，n)，直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得．∴y＝－2x＋8．∵点M在直线y＝－2x＋8上，∴n＝－2×5＋8＝－2．又∵抛物线y＝ax2－10ax＋c经过点C和M，∴，解得．∴抛物线的函数表达式为；(3)存在．△PBD与△PCD的面积相等，点P的坐标为，．
电话：010-
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京ICP备号 京公网安备如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在x轴的正半轴上,OA边在直线y=√3x/3上,AB边在直线y=-√3x/3+2上.（1）直接写出O、A、B、C的坐标；（2）在OB上有一动点P,以O为圆心,OP为半径画弧,分别交边OA_百度作业帮
如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在x轴的正半轴上,OA边在直线y=√3x/3上,AB边在直线y=-√3x/3+2上.（1）直接写出O、A、B、C的坐标；（2）在OB上有一动点P,以O为圆心,OP为半径画弧,分别交边OA
如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点B在x轴的正半轴上,OA边在直线y=√3x/3上,AB边在直线y=-√3x/3+2上.（1）直接写出O、A、B、C的坐标；（2）在OB上有一动点P,以O为圆心,OP为半径画弧,分别交边OA、OC于 M、N（M、N可以与A、C重合）,作⊙Q与边AB、BC,弧都相切,⊙Q分别与边AB、BC相切于点D、E,设⊙Q的半径为r,OP的长为y,求y与r之间的函数关系式,并写出自变量r的取值范围；（3）以O为圆心、OA为半径做扇形OAC,请问在菱形OABC中,除去扇形OAC后剩余部分内,是否可以截下一个圆,使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥. 若可以,求出这个圆的面积,若不可以,说明理由.
（1）O(0,0),A(√3,1),B(2√2,0),C(√3,-1)……… 2分（2）连结QD、QE,则QD⊥AB,QE⊥BC.∵QD=QE,∴点Q在∠ABC的平分线上.又∵OABC是菱形,∴点Q在OB上.∴⊙Q与弧MN相切于点P.在Rt⊿QDB中,∠QBD=30°∴QB=2QD=2r.∴ y+3r=2√3,y=2√3-3r .其中.(2√3-2)/3
1.利用两直线交点求出A，利用第二条直线与x轴交点求出B，A，C关于x轴对称可求出C。O(0,0),A(√3,1),B(2√3,0),C(√3,-1)2.根据直线斜率知角AOB＝30度又⊙Q与边AB、BC，弧都相切，连接QD，则QD垂直于AB在直角三角形BDQ中，DQ＝r，所以BQ＝2r,PQ=r,所以OB＝y+3r.又OB＝2√3.所以...
/watwelve/album/item/5a850e244413.html【答案】分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值．（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形．（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．解答：解：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB==5，∴sin∠ABC=．（2）∵点E在x轴上，S△AOE=，即AO&OE=，解得OE=．∴E（，0）或E（-，0）．由已知可知D（6，4），设yDE=kx+b，当E（，0）时有，解得．∴yDE=x-．同理E（-，0）时，yDE=．在△AOE中，∠AOE=90&，OA=4，OE=；在△AOD中，∠OAD=90&，OA=4，OD=6；∵，∴△AOE∽△DAO．（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0），②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，∴F（-，-），④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=&=，∴F（-，）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（-，-）；F4（-，）．点评：一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比；相似三角形对应边成比例；给定两个点作为菱形的顶点，那么这两个点可能是菱形的对角所在的顶点，也可能是邻角所在的顶点．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
来源：2009年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（05）（解析版）
题型：解答题
（2009?鸡西）如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2009年全国中考数学试题汇编《四边形》（11）（解析版）
题型：解答题
（2009?鸡西）如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2009年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》（05）（解析版）
题型：解答题
（2009?鸡西）如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2009年黑龙江省鸡西市中考数学试卷（解析版）
题型：解答题
（2009?鸡西）如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．