有限与无限思想的解题策略_百度文库
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有限与无限思想的解题策略
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18世纪的一位思想家认为：“那种绝对的、无限的权力，不管落到什么人手中，不管是君主，还是自称是人民的代表，结果你将发现它同样都是罪恶。”这种认识主要是源自对当时哪国情况的观察A．英国B．法国C．美国D．德意志
题型：单选题难度：偏易来源：不详
B试题分析：根据所学，材料“不管是君主，还是自称是人民的代表，结果你将发现它同样都是罪恶。”这里所说的“自称是人民的代表”的人，符合材料的是拿破仑，由此不难判断出法国。
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据魔方格专家权威分析，试题“18世纪的一位思想家认为：“那种绝对的、无限的权力，不管落到什么..”主要考查你对&&艰难的法兰西共和之路，法国共和政体的确立（法兰西第三共和国宪法）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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艰难的法兰西共和之路法国共和政体的确立（法兰西第三共和国宪法）
法国波旁王朝：通常指波旁家族在法国建立的王朝(年，年)，因其祖先爱马主教的封地在波旁堡而得名。1589年，波旁王朝开始统治法国，国王为亨利四世，继任者先后有路易十三、路易十四、路易十五、路易十六。1789年法国大革命爆发，国王路易十六于1792年被推翻，法国废除君主制。1814年拿破仑一世的统治垮台，反法联军进入巴黎，决定波旁王朝的路易十八复辟(路易十六之弟，路易十六之子路易十七已死)。1824年路易十八死，由其弟查理十世继位。1830年七月革命中被推翻，波旁复辟王朝告终。
法兰西第一共和国： 法兰西第一共和国是法国近代史上第一个共和国。日，由国民公会通过法案，废除王权，建立法兰西共和国。历经吉伦特派统治、雅各宾派专政、热月党的督政府、拿破仑为首的执政府等阶段。日拿破仑称帝，为第一帝国取代。
雅各宾派： 法国大革命时期参加雅各宾俱乐部的资产阶级激进派政治团体。1789年常在雅各宾修道院集会，故名。法国大革命进程的三个派别的统治：
法国大革命爆发的原因：　1、资本主义的发展与封建专制统治的矛盾是革命发生的根本原因。18世纪下半期，法国资本主义经济已有很大发展，尤其是采矿业、冶金业出现了拥有4000多人的大规模的企业，且具有近代工业性质。发达程度居欧洲大陆首位。对外贸易也得到迅速发展。但封建统治却成为资本主义经济发展的巨大障碍：广大农村依然是封建土地所有制；全国关卡林立，政府对工商业不断提高税收。生产关系束缚着生产力的发展；上层建筑已不适应经济基础。要求变革生产关系，变革上层建筑的革命就成为一种历史发展的必然趋势。　2、尖锐的阶级对立使封建统治面临着严重的政治危机。革命前的法国，封建等级制度森严，全国居民被划分为三个等级，僧侣为第一等级，贵族为第二等级，在这两个等级之外的统称为第三等级。前两个等级是掌握统治权的特权等级，他们占有全国2／3的土地，但不承担任何纳税义务。第三等级是被统治阶级。在政治上无权，在经济上承担着国家的全部赋税。他们强烈要求改变生活状况，尤其是资产阶级迫切要求分享政治权力。这种尖锐对立的阶级关系，使革命具有随时爆发的可能。　3、封建王朝的财政危机，为法国大革命的成功和资产阶级掌握政权创造了条件。18世纪的法国，由于统治者的挥霍无度，由于对外战争的耗费（年，援助美国反英），使法国财政赤字猛增，到1789年国债已达45亿锂，年付出利息已同全年财政收入相近，法国财政濒临破产境地。财政危机极大地削弱了专制统治的力量，并成为法国大革命爆发的直接原因。　4、启蒙运动为法国大革命作了思想和舆论上的充分准备。　5、英国资产阶级革命和北美独立战争对法国大革命的发生也具有一定影响。
法国大革命时期资产阶级对法国社会的改造：1、君主立宪派统治时期对法国社会的改造：　大革命爆发后，代表大资产阶级利益的君主立宪派在人民的支持下掌握了政权。君主立宪派通过制宪会议颁布了一系列法律法令和措施，从政治、经济和法律上对法国旧制度进行了改造。其具体表现是：　①在政治上，宣布废除封建制度，取消教会和贵族的封建特权。②在经济上，没收教会和逃亡贵族的财产，取消关卡，规定一切公民和财产都应纳税。使大批属于封建贵族和教会的土地，都转移到资产阶级手中，从法律上否定了封建土地所有制。③在法律上，发布《人权宣言》，把启蒙思想家主张的"主权在民"、自由、平等、安全和反抗压迫、法律面前人人平等，私有财产神圣不可侵犯和"天赋人权"等观念，以法律形式确定下来，作为建立资本主义社会的基本原则。从而否定了封建等级制度，摧毁了君主专制制度；1791年颁布了1791年宪法，规定法国为资产阶级君主立宪制国家，从而否定了君主专制政体，为资产阶级掌握政权提供了法律依据。君主立宪派当权期间，通过立法手段，从反对封建土地制度、反对封建等级制度和反对封建君主专制政体三个方面，对法国社会进行了初步改造，基本上实现了资产阶级革命的预定目标。从这个意义说，君主立宪派对大革命作出了重大贡献。但由于统治期间国内经济遇到严重困难；国外有普奥军队的武装干涉，且因王党势力出卖情报，导致战场上失利，致使法国和法国革命处在危急之中。人民对其统治不满而再度起义，君主立宪派的统治结束。　2、吉伦特派统治时期对法国社会的进一步改造。　巴黎人民的第二次起义把代表工商业资产阶级利益的吉伦特派推上了历史舞台。吉伦特派当权期间，进一步摧毁封建制度的残余，改造法国社会。具体表现在：　①实行普选制，进一步扩大公民权，取消了按财产享有公民权的规定。②召开国民公会，通过了废除君主制，成立共和国的决议。成立了法兰西第一共和国，处死了路易十六。③颁布新的土地法，进一步改造封建土地制度。宣布在农村中按户分配公有土地；无偿废除“没有领主的土地”上的一切封建权利。　吉伦特派在废除君主制、创建法兰西共和国、进一步改造封建土地制度、废除农民的封建义务上，作出了较大的贡献，使法国大革命大大前进了一步。但吉伦特派在共和国面临生死存亡的紧要关头，不能暂时限制和牺牲自身的利益，其统治被巴黎人民的第三次起义所推翻。　3、雅各宾派统治时期的革命措施和作用　巴黎人民的第三次起义把雅各宾派推上了历史舞台。由于当时法国内外形势的紧急，雅各宾派上台后采取了一系列革命的措施：　①颁布法令，彻底摧毁封建制度。宣布把逃亡贵族的土地分成小块出售，地价在十年内付清；农村公有土地按当地人口分配；无条件地废除贵族、地主的一切封建权利。从社会改造的角度看，这一举措使资产阶级对法国社会的改造达到了彻底的程度；从社会经济发展的角度看，这一举措造成了此后法国小农经济的大量存在，不利于资本主义大工业的发展；从当时的形势看，这一举措对于争取农民阶级的支持，扭转当时法国所面临的严峻局势，起到了十分重要的作用。②颁布全面限价法令，遏制商人囤积居奇和哄抬物价的投机行为，使经济上的混乱局面得到一定克服。这是一种以行政手段管理经济的作法，是应对非常时期的非常之举。③通过关于惩治嫌疑犯的法令，坚决镇压各地王党势力的叛乱，使社会秩序得以稳定，但这一应对非常时期的非常之举是违反法制的。④发布总动员令，宣布祖国处于危急状态，征集大量青年入伍，从而打退了外国干涉军，使共和国的危机得以解除。　雅各宾派在危急关头掌权，采取一系列革命措施，扭转了局势，化解了危机，挽救了革命，其功不可没。但雅各宾派在危机消失后，未能及时终止恐怖政策的实施，违背了历史的发展潮流，这是导致热月政变，雅各宾派统治垮台的根本原因。
法国大革命的历史意义：1、规模最大的资产阶级革命（规模）2、人民群众起了巨大的推动作用（群众） 3、摧毁了法国的封建制度（摧毁、动摇）4、具有世界意义.为各国树立榜样（世界）
拿破仑统治法国：1、对内政策背景：督政府的统治导致法国革命成果危在旦夕。?内容：①政治上：建立了中央集权的政治体制。②经济上：改革财政，建立法兰西银行，鼓励工商业发展。③法律上：重视法制建设，注重依法治国。公布《民法典》《商法典》《刑法典》，确立资本主义社会的立法规范。 ④文教上：重视科学研究和文化教育事业的发展，建立公立中学和法兰西大学。? 2、对外政策：不断的对外战争。?早期战争：拿破仑帝国与反法联盟的多次战争?后期战争：拿破仑力图建立一个欧洲大陆体系，扩大战争，进攻西班牙、俄国等国。
认识拿破仑发动的对外战争：拿破仑发动的一系列对外战争多次打垮欧洲反法同盟，客观上起到了保卫法国资产阶级革命成果，防止波旁王朝复辟的作用；同时也促进了欧洲封建君主国家资本主义的发展，动摇了这些同家的封建统治秩序，因此具有进步的一面。但法国对外战争也有与英俄争霸和侵略奴役欧洲各国人民的一面，特别是随着法国日渐强盛，欧洲列强对法国的威胁日益减小，其战争的侵略性和争霸性就逐渐占据主导地位。
拿破仑帝国覆亡的原因：1、由于欧洲人民的民族意识（民族主义）的觉醒，和长年战争使国内矛盾激化。2、由于拿破仑雄心变野心，他对权利和荣誉的无限欲望。3、由于当时欧洲大陆的封建势力远远超过资本主义势力。君主立宪派的统治（－1792.8）：
吉伦特派的统治（93.5）：
雅各宾派的统治（94.7）－高潮 ：
三级会议：法国中世纪的等级代表会议。始于1300年腓力四世时。参加者有教士、贵族、市民三个等级的代表。通常是国家遇到困难时召开，故不定期。会议期间三个等级各自讨论议案，只有在拟定对国王的回答时才举行联席会议，三个等级各有一票表决权。路易十六时，财政危机严重，到1789年国债已达45亿锂(法国货币单位)，年付利3亿锂以上，而国库年收入仅3．2亿多锂，举债无门。在新任财政总监内克敦促下，被迫于1789年5月举行中断了175年的三级会议，并同意给予第三等级以相当于两个等级的名额(第一、二等级各300人，第三等级600人)。5月5日，三级会议在凡尔赛开幕。第三等级代表要求取消等级区分，提出按人数表决，三个等级一起集会等建议，在遭到拒绝后，6月17日，宣布单独组成国民会议。经过斗争，又于7月9日改组为制宪会议。国王于7月11日罢免内克，并密调军队准备镇压第三等级的反抗。7月14日，巴黎人民爆发武装起义。三级会议的召开，遂成为革命的导火线，揭开了法国资产阶级革命的序幕。
第三等级在三级会议上的斗争：日，三级会议在凡尔赛宫开幕。按传统方式，三个等级分别开会，表决时每个等级只有一票，这样，虽然第三等级的代表人数是第一、第二等级每个等级人数的两倍，但也无济于事。国王和特权等级只要求解决财政问题，而不提改革，于是，第三等级的代表同他们发生了冲突。6月17日，第三等级自行组织国民议会。6月20日，国王派人封闭会场。国民议会的代表们在一个网球场集会，并宣誓：不制定出一部王国宪法并使宪法得以实施，议会绝不解散。这就是著名的网球场宣誓。至此，法国资产阶级形成了反封建的纲领，他们要将法国改造成实行君主立宪制的国家，推行各种合理的改革。6月23日，国王召开“御前会议”，明确要维持现状，国民议会的代表抗命留在会场中继续开自己的会，一些自由派贵族也参加进来，重申了网球场誓言。6月24日，大部分教士代表也加入了国民议会，接着一些贵族代表也加入进来。路易十六只好在27日让全体特权等级代表都加入国民议会。7月9日，国民议会正式改称为制宪议会。
巴黎人民进军凡尔赛：日，制宪议会通过的《人权宣言》没有得到路易十六的赞同，同时路易十六还拒不接受议会作出的关于取消封建权利的一些决议。当时，巴黎物价上涨，面包十分缺乏，社会动荡，人心浮动。日，一群巴黎妇女由于缺乏面包，组成了队伍，涌向国王路易十六居住的凡尔赛。一路上，她们高喊着“到凡尔赛去”的口号，一路上，不断由妇女加入，也有男子参加进来，人数越来越多，渐渐地队伍变得浩浩荡荡。到达凡尔赛以后，她们冲进制宪议会的会场，第二天早晨又冲进王宫。迫于群众的声势，路易十六只好携带家小返回巴黎。两天后，制宪议会也迁到巴黎。&&
1792年8月巴黎人民起义： 法国出现的情形引起了欧洲封建君主们的不安，1791年8月，奥地利和普鲁士的封建君主扬言，法国如果不恢复王权，解散议会，欧洲各国的君主都将出面保障法国的君主体制。同时，法国的逃亡贵族们也活动频繁，他们在德意志和比利时等地聚集起来，招募军队，准备反攻。这时，俄国、瑞典、西班牙和撒丁等国的封建君主们都表示支持这些旧贵族。面对国内严峻的形势，法国立法议会进行了激烈的辩论。一部分议员主张对反对法国革命的欧洲君主开战，他们认为，这些君主国既对法国革命的既得成果是一个严重威胁，同时也是造成恐慌不安、破坏商业流通的祸害；通过战争打击这些暴君，可以迫使各国承认法国革命，同时为商业流通打开渠道。另一部分人则认为，鉴于法国在军事上准备不足和军队中原贵族军官较多，不宜急于开战。此时，路易十六和王后玛丽·安托瓦内特则希望外国能干涉法国革命，他们写信给普鲁士、奥地利、俄国、西班牙和瑞典等国的君主们，呼吁他们干涉法国革命。1792年春天，路易十六任命了主战派组阁。不久，法国对奥地利和普鲁士宣战。战争开始后，贵族军官很多投敌或向敌人通风报信，法军屡遭败绩。7月，欧洲反法军队侵入法国境内，法国革命面临着严重的危机。立法会议通过决议，宣布“祖国在危急中”，号召人民拿起武器，保卫祖国。法国人民群情激昂，几天内，巴黎就有一万五千多人应征入伍，各地纷纷组织义勇军，会聚巴黎。马赛人民组织起一支516人的义勇军，高唱《莱茵区军歌》向巴黎挺进，这支歌后来以《马赛曲》而闻名，成为法国国歌。8月初，有消息说，普奥联军司令发表了恐吓性宣言，他说：如果法国国王、王后和整个王室受侵犯，将对巴黎进行“军事惩罚并全部毁灭，处死暴徒以惩其罪行”。巴黎人民非常愤怒，更坚定了推翻封建王朝的决心。广大人民组织起来开始对王室进行监视。由于立法会议没有作出推翻王室的决定，8月9日晚，巴黎圣安东郊区的人民首先开始起义。次日晨，巴黎48个区中的28个区的代表来到市政厅集会，以多数区的名义宣布废除旧的市政府，建立新的巴黎公社（公社是法国传统的一种城市自治权力机构，巴黎公社即是巴黎的市政府；自中世纪以来，法国取得自治权的城镇就称为“公社”），任命了新的国民自卫军司令。国民自卫军很快打败了由瑞士雇佣兵组成的王宫卫队，占领王宫。路易十六如一只丧家之犬，跑到议会请求保护。慑于武装群众的压力，立法议会通过决议，宣布国王暂时停职，召开普选产生的国民公会。这样，法国一千多年的君主制度结束了，法国资产阶级革命进入了一个新的阶段。
雾月政变：年，英国和欧洲各国的封建君主们组织了第二次反法同盟，法军虽然在意大利打败了加入反法同盟的一些意大利小邦国，但是，却在其他地区遭到了俄奥联军的沉重打击，法军败退到莱茵河左岸。同时有四万多名俄英军队在荷兰登陆，法国本土又面临着遭入侵的危险。于是，督政府不得不实行了一些紧急措施，起用了以前雅各宾派的一些成员，并进行大规模的征兵，为了解决军事费用，还向富人发行强制公债，并对流亡贵族和反革命分子的家属实行人质法。人们看到了督政府的无能，同时也深恐雅各宾时期的恐怖重来，一时间，法国各地人心惶惶，社会更加动荡不安。此时，旺代郡又发生了保王党的叛乱，法国形势真是雪上加霜。资产阶级需要建立一个强有力的政府，督政府也想依靠军队来克服眼前的危机。督政府原来选中了茹贝尔将军，但不巧茹贝尔在8月15日阵亡了。这就给拿破仑创造了一个千载难逢的良机。此时，拿破仑正带兵远征埃及，但他一刻也没有忘记关注法国国内的动态。他的弟弟吕西安·波拿巴一直在向他通报巴黎的消息。他在获悉巴黎的情况后，立即离开在埃及的法国军队，渡过地中海，于10月9日在法国登陆，18日即赶到巴黎。拿破仑显赫的战功使他立即成为在困境中的法国大资产阶级的拉拢对象。拿破仑同老奸巨猾的督政官西哀士勾结起来，密谋夺权。11月9日和10日，即共和历雾月18日和19日，在资产阶级政客和一些军官的支持下，拿破仑发动了政变。他首先得到了巴黎军队总司令的职务，然后，由于他提出的修改宪法的要求被拒绝，他带兵强行驱散了议会两院。此后，拿破仑纠集一小部分屈从于他的议会代表，通过决议，把政权交给三个执政官：拿破仑、西哀士和另一个无关紧要的人物罗歇—迪科。拿破仑开始掌握政权。历史上把这次政变称为雾月政变。 法兰西共和政体的确立：1870年的法国革命建立了法兰西第三共和国。1871年经普选选出了675名议员组成的国民议会，并承担起制定新宪法的任务。经过议会内部一系列的激烈斗争，日，以一票之差通过了法兰西第三共和国宪法。 法兰西共和政体的确立特点：
总统执掌行政权，但权力受到议会的限制，法国是议会制共和制国家；议会掌握立法权。《法兰西第三共和国宪法》（1875年宪法）：（1）背景：1870年普法战争中法军战败，法兰西第二帝国覆亡，第三共和国建立；保皇派势力和资产阶级共和派势力的政治斗争日益尖锐。（2）内容： ①立法权属于议会，议会由众议院和参议院行使。众议院用普选方式选出，参议院由间接选举产生。 ②行政权由总统和内阁掌握。总统由参众两院联合组成的国民议会依绝对多数票选出，总统是国家元首、军队最高统帅。任期7年，可连选连任。内阁由总统任命，但对议会负责，总统的命令须经各部部长副署。（3）影响：标志着资产阶级代议制政体在法国的确立，适应并推动了资本主义的进一步发展，但宪法具有浓厚的专制主义的色彩，阻碍了资产阶级民主改革的彻底完成。（4）意义：法兰西第三共和国宪法出台的意义，主要体现在：a、共和派掌握实权；b、共和体制的最终确立；c、与封建君主专制制度、帝制独裁对比，共和体制的确立是历史的进步；d、随着法国工业资产阶级势力的上升，对法国资本主义的发展起到促进作用。
法国共和政体确立艰难的原因：（1）法国是一个农业占统治地位的典型的封建专制国家，君主思想作为封建残余长期存在。（2）法国资本主义发展发展相对缓慢，工业资产阶级力量相对处于弱势，共和派力量不强大。（3）法国封建势力强大。（4）欧洲其他国家几乎都参与了对法国的武装干涉。
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205550217486206616269418268912240420“有限”与“无限”的纠缠
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|系统分类:|关键词:有限与无限，纠缠
& & & & &本文是对老友的系列博文《理解数学-…》以及我们之间纠缠的一些思考。仔细推敲，发现这个纠缠也是关于将哥德尔使用的“有限”理解成“有限”还是“无限”的争执。& & & & &在我的《》中开始即提到：&最近老友应行仁在系列博文“理解数学--…”中介绍了数学中的概念、与逻辑等。他也另外通知我希望写些评议。我想该系列远没有结束，很多思想没有完整地表述，因此想等他写完该系列后再做评议。&之所以有这个想法，就是因为对老友的如下了解（这是我在“读《哥德尔定理的证明》”中指出的）：&我注意到，由于特殊经历与个人的特质，他喜好钻研一些带有博弈性质的困难问题。这类问题中往往一些概念和定义不像一般数学问题那样简单明了，而是有较大讨论空间。在这些领域，他能以幽默、诙谐、带有调侃性的语言撰写出基本严格却又较通俗、带有启发性的科普读物。我不能保证他写的所有通俗著作数学上都是严格、正确的（其实真做到严格、正确很难，大数学家的大作中往往也出错，甚至是大错，不是吗？），但相信他是严肃、认真的，尽管经常使用调侃式的语言。 这是一种智慧，我想认识他的朋友都会被他的智慧所折服。&我也注意到，“理解数学”是个极大的题目，需要对数学的方方面面与整体有深入的认识与研究之后才可能以此为题写个“有限”的介绍。正是由于此，我个人绝对不敢以此为题写文章。&但是，根据对老友的了解，他以这一题目写“系列”则不完全出乎我的意料。所以我说“我想该系列远没有结束，很多思想没有完整地表述，因此想等他写完该系列后再做评议”。我的这句话本来还潜含个人的如下估计，即我认为他的系列并不是事先完全计划好的，而是以他所熟悉的数学某一部分作开始，然后通过纠缠的方式将读者纠缠进去，从而产生大量的话题，这样就可不断讨论、不断写下去。这样，“有限”的介绍就引来“无限”的纠缠。不难看出，其《》就带有这样的色彩。&老友确实也有评价数学工作的气魄，例如在提到陈景润“1+2”的证明时，他指出：&“陈景润只是把已有的筛法用到了极致，没有带来新方法的突破所以评价不高”（见其博文中对评论[23]的博主回复），尽管这一评价与许多专家的截然相反。& 老友也非常乐于将我拉入与之纠缠的麻团。他在科学网上的博文《&》就预示了这一点，他写道：“应用数学所的管克英乘机谈起数学之美，我则写个“美的颠覆”系列，用悖论和数学危机来唱对台戏”。& 虽然我强烈不希望参与纠缠式的争论，但还是被老友的邀请，主动或被动地两次在科学网上涉入了与老友的讨论或争论。第一次是关于他所写的“哥德尔定理的证明”系列，他主动邀请我参与讨论。他的邀请写道：&老管，注意到你已看过我写的“哥德尔定理的证明”系列，很希望听到你的评论，尤其是能不能读通他证明中的逻辑思路。有什么地方没有交代清楚，有什么疑点。&这个系列主要是给像你，xx，xx，xx这样数理基础的大同行的高级科普文。介绍自己专业外的知识。列出所有主要的逻辑，供消化理解。所以要花费读专业论文的脑筋。才能吸收。我关心的是否能够比较通顺地阅读，花了脑筋后能否吸收。&我经常不能完全读懂他的表述，例如邀请中“介绍自己专业外的知识”，这里的“自己”指谁是个纠缠的难题。& & & & 事实上，虽然我并不清楚“哥德尔定理”是否是老友自己的专业，是否正式发表过这类学术论文，但他曾提到过他写的一些关于计算机辅助逻辑推理的数学论文（见《平面几何的人工智能机器证明 -- 介绍丁孙荭的研究》的评论[11]、[12]）：&出自对这方面的兴趣，促使我80年代在美修完纯数学的课后，花了很多时候学习计算机理论和技术。我在美博士阶段的一个工作是用计算机推导复合材料的剪应力特征值方程，得出N种复合材料特征根通用公式（close form），这个推导工作把数学抽象提取和计算机功能都发挥到极限，比如说在推导三种材料时，4N行列式展开公式有15页纸长度，在四种材料时，计算机算了十几小时，耗尽堆栈，程序奔溃。这光凭人力是不可想象的任务。在人工约减和计算机辅助逻辑推理下，推导出并证明了这个通用公式。后续的特征方程根自动求解和特征函数推导计算，也无不是类似的数学和计算机相结合的工作。&呵呵，你不提起我都有点忘了这快三十年前的工作，刚查了一下论文，趁记忆还新鲜大致说一下。这是很实用的一项研究，我老板得了一个基金，研究复合材料强度计算，这计算用p-型有限元，一个关键点要求出结合处应力集中奇点的应力分布值，这就要求出按照复合材料弹性力学方程特征函数，这要先求出特征值，这又要先求出复合材料在这偏微分方程下特征值满足的特征方程的封闭形式。 & & 比较多的计算机辅助证明是在导出特征方程上，人先把要推测的公式分成几类，从易开始，计算机用符号逻辑推导省去很麻烦，又容易出错的机械劳动。计算机处理不了时，人力参与，简化或归纳，人机不断配合，得出结果。那时看了四色定理机器证明的方式，大致原则是一样的。这个结果是多学科的，我把不同的侧重分别发表在计算数学，应用数学，材料力学，计算机科学等不同学科的刊物上。 & &我在WashU当学生时将计算机能力用到极致，耗尽计算机资源引起系统出错的有两次，一是这个证明推理，把计算机系的中型机弄垮了。二是博士后用了医学院的大计算机，周末算了一天多后系统出错，幸好我是迭代式的计算，前一个结果已被记录下来，才没浪费这时间。&所以，在我看来，他有资格介绍哥德尔理论。&而哥德尔理论的确不是我的研究范围。无论如何，虚心学习是必须的，所以仔细读了老友的系列介绍。&实事求是地讲，读该系列及相应的参考文献是很费劲（维基百科有关词条的解释，相对容易懂），至今我并没有真正弄懂哥德尔的证明，但是对以下三点，相信我的判断或理解是正确的：&（1）哥德尔理论中的“不可证明”、“不可判定”或“不可判断”是指，对一个命题，仅使用给定公理系统中的有限方式既不能证明其真，也不能证明其伪。&（2）哥德尔理论中的一个关键，是将自指代性命题“这个命题是不可证明的”巧妙地嵌入普通的公理系统。用维基百科的的话说，这是一种巧妙的“把戏”（见中文维基百科关于哥德尔不完备定理词条的解释）&（3）尽管哥德尔理论解释了现有的数学公理体系的一系列问题，但给我强烈的感觉是，该理论恰恰对其讨论的最基本自然数公理体系中的重大未决问题无能为力，例如对哥德巴赫猜想就无法给出结论。这极大地影响了我对该理论意义的评价。&根据对上述的理解过程，我写了“哥德尔定理的证明”的一些相关文章，越来越明确地表明我的看法。&由此，老友和我之间就纠缠上了。他先后对我提出了一系列驳斥意见，其中较有分量的是：&哥德尔定理中的“不可判定”是指在PM里形式证明不能证其是非的，也就是在给定含有算术公理的系统中，不能用有限化证明的命题。但这个命题可能被系统之外的方法证明，这时它并不与“不可判定的”的断言相矛盾，因为一个指系统内，一个指系统外。比如说哥德尔的命题G（表达了“这个命题在PM里不可证”），哥德尔证明了它是不可判定的，但是这正证明了命题G为真，不过这是从语义即元数学层次的逻辑（证明）。 & & 你在1里的逻辑也类似，“如果证明了一个这类命题“不可判定”，即意味该命题在自然数中不存在反例，命题是正确的”，这里的逻辑（证明）是在语义上，也就是元数学层次上的判断。所以它不能用来否定在数学层次的“不可判定”。这也是为什么在介绍中一直强调数学和元数学层次的区别。 & &实际上，有人认为哥德巴赫猜想在数论上是不可判定的，所以这猜想必须用数论之外的方法才能证明。（以上摘自《》的评论[1]）&这篇博文的逻辑与“读《哥德尔定理的证明》（续）”中第一条论断不同，但是结论仍然不成立。这里逻辑的根据是：“如果哥德巴赫猜想是错的，则一定可用PM中的方法证伪。”这个命题是真的。它的一般形式“如果一个命题可以被证伪，那它不是不可判定的”也成立。但这能够据此推出“哥德巴赫猜想不是不可判定”的吗？不能。因为上面两个作为根据的命题都是带假设的语句，必须满足假设的前提才能得到结论。“哥德巴赫猜想”是错的吗？不知道。它被证伪了吗？没有。可能被证伪不是条件中的子命题。你也许说，理论上可以逐个试过，如果是错的，它一定会被找到。这仍然是假设在是错的情况，在没有找到前，我们不能判定它是错的。如果它是对的，这意味着你一直试下去不能得到结论。所以在不知道一个命题对错之前，这个计算能否有结果决定于是否有个算法对这问题能够停机（算出结果）。这就是图灵的停机问题。图灵说：“停机问题是不可判定的”，这与哥德尔定理是等价的。仍然没有绕开哥德尔定理。所以对哥德巴赫猜想不能断言不可能被证明是“不可判定的”。谎言悖论只是一个技巧用来证明哥德尔定理，它不是不可判定命题的必要形式。（以上摘自《》的评论[1]）&为了更清楚说明我的看法，我又在6月22日专门写了“哥德尔定理与哥德巴赫猜想”，其中为避免不必要的争论，对哥德巴赫猜想的“可证伪”性给出了明确的定义，并使用常用的逻辑证明了：对于可证伪的命题，不能使用哥德尔的方式证明为“不可判断的”。&由于种种原因，他有一个多月并没有在科学网上正面回应。我原以为争论就此停止了。但在其7月25日发布的《》中，在介绍了有限与无穷时，则又重新开启了我们有关的争论。他写道：&什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案，有人由此得出哥德巴赫猜想不是不可判定的。这其实相似于数论上的定理，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案；计算机程序逐个试过总知道会不会停机。但这里的“试过”可能是一个无限的过程，是不能实现的，不合法。哥德尔的不可判定定理和图灵的停机问题都是否定了这样推理的结论。&针对他的上述看法，我在《》做了必要的答复，而且在另一博文《》则特别针对他屡屡提到的“逐个试过”提出了我的看法。当然，在前一篇的博文评议中我们还具体进行了一系列争论。在争论后，他在两篇博文的最后评议中分别写道：&你说的和我评论中的问题所预期的又不一样。看来我们每次谈的都没有交集，我只能把一些核心的概念再重覆一下。看看能不能说清楚一点。 & &什么叫做“不可判定”？这在哥德尔定理里的意思是说，不能从自然数和逻辑公理中用有限的数学对象和有限步骤，证明其真或假。对于含有“判定”这个概念的命题，里面含有“证明”这个概念，这不是一个数论的命题，而是一个元数学的命题，对于元数学命题要“用哥德尔的方法”证明，意味着要像哥德尔一样把数论命题和证明数论命题的哥德尔数转化成两个数字关系的数论命题，然后用”有限化“的方式证明或证否。 & &如果你看过哥德尔定理证明的介绍应该理解我上面所说的内容，也会理解为什么我老在强调“逐个”（哥德尔数），这是沿着哥德尔证明的路径会遇到的事。 & &我的错误是没有强调这些概念，急于沿着你思路来质疑，结果我的思想背景是上述的概念，而你除了用“哥德尔方法”作为形容词外，实际上没有用他的方法来证明一个非数论的命题。 & &如果在你的反证法证明中把要证明命题的谓词“判定”改为任何数学性质，那是一个数论的命题，是可以这样做的。但是用“哥德尔方法”来证明或证否可判定不可判定的命题，可不是这么回事。 & &你可能把不是那么简单的问题看简单了。对于中学大家都学过的数学归纳法里的N的概念，我相信大家还是理解的，我这里谈的都不是对这些简单概念的不理解。所以我们几次谈的都没有交集。 & &这也说明无穷里的证明不是那么简单的，除非认为你的讨论对手对这些中学数学证明和极限这些简单概念都不理解。（以上见《》的评论[15]）。& &&数学的三次危机，第二次发生在柯西极限概念之前，第三次发生在柯西极限概念之后，它们本质都是对于无限的理解。引用“数学史上的三次危机”一文中最后一段话：“承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。” & &当然如果都不在乎这些不常碰到的问题，无限既不神秘也不可怕，凭着教科书里照办就是了，那是写书人考虑的事。（以上见《》评议[3]）。&对他的这些评议，我只公开回复了如下的话：“的确没有交集。你讨论的那些概念与我关心的能否用哥德尔方法判定哥德巴赫猜想是否可判定无关，所以就不讨论了”。&所以这样回复，是因为以下三个原因：&（1）我的确不明白他的一些复杂说法，并觉得这些说法与我的推理无关。 & （2）我确实认为他的解释回避了实质性问题：对于可证伪的命题，不能使用哥德尔的方式证明为“不可判断的”。（3）在纠缠式的讨论中，他提出“而你除了用“哥德尔方法”作为形容词外，实际上没有用他的方法来证明一个非数论的命题”。对此，我认为这句话不公正、不太理智。&我早已公开声名没弄懂哥德尔定理的证明，所以我不能用哥德尔的思想证明其它的定理。但这不应排除我在理解了哥德尔的“不可证明”的含义基础上，通过我熟悉的（非哥德尔的）普通逻辑指出用其方法肯定不能判断哥德巴赫猜想是否属于“不可证明”。&相反，确实有理由要求我的老友，既然掌握了哥德尔定理，那么就应该用哥德尔的思想判断一下哥德巴赫猜想。如果老友真能严格判断，那就不必争论了，那就雄辩地证明了他是对的，我是错的。事实上，在我的文章中已多次公开提出这一要求，但老友一直回避。其实，我确信老友绝对做不到！&为了不在混乱的纠缠中陷于无谓的争论，甚至失去理智，所以我希望争论就此而止。&但不幸的是，老友的新博文《》中，在兜了一个圈子之后又重新点燃这一争论：&什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案。这就是个无限的推理过程，因为你无法判断这个过程中，什么时候可以得到结论。&现在，既然问题又摆到桌面，只好再次给出简单回答：&哥德尔的理论中“不可证明”有两个含义：既不可用有限的方式证明其真，也不可能用有限的方式证明其伪。关于哥德巴赫猜想只有以下两种情况：&（1）如果哥德巴赫猜想是错的，那么就一定可以用有限方式证明其伪；（2）如果哥德巴赫猜想是对的，那么就一定不能用有限方式证明其伪。&无论哪种情况发生，都不可能用哥德尔的思想判断哥德巴赫猜想是“不可证明的”。&必须指出，假设哥德巴赫猜想不正确，当反例的偶数N很大时，有限证伪确实不容易做到，但理论上一定能通过有限的搜索（最初等、笨拙的判定办法）判定其伪。因为，哥德尔的理论中从来没有限制过“有限的方式”中的有限到底是多少。老友将这种不确定的“有限”错误地看作为“无限”，认为“这就是个无限的推理过程”。这无疑是引起争论的一个重要原因。&但有限就是有限，无限就是无限。在目前绝大多数数学家使用的理论中，尽管没有限制有限的大小，但有限与无限两个概念泾渭分明，不容混淆。&例如世界著名的俄罗斯数学家亚历山大罗夫与柯尔莫哥罗夫合著的“集与函数的泛论初阶”上册，名著范德瓦尔登著《代数学》上册第一章等都对这些概念有简明严格的介绍。建议为弄清“有限”与“无限”概念的读者读一读这两本书，或读国内的一些数学基础教材。相信，理解这些概念并不困难，读者会感到这些概念与自己接受的教育及自身的经验相符。&当然，这里提到的理论属于“实无穷”理论，尽管上述文献或教科书一般不使用“实无穷”一词。&关于“实无穷”与“潜无穷”是个有争议的讨论题目。我觉得中文百度百科有关“实无穷”词条对这两个无穷的解释较为简明：&数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。康托的朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。&除了个别领域，数学研究一般不涉入这一争论。当然可以争论，可以由此产生大量讨论文章，但目前还看不出有什么积极意义。&本文认为以下相关的问题也值得指出。老友在举出关于数学归纳法的悖论时，他是这样表述的（见《》）&比如说，下面运用数学归纳法证明是错误的。集合{1}是有限集，假如{1,2,…,n}是有限集，那么多一个元素的{1,2,…,n,n+1}也是有限集，根据数学归纳法，这对所有n都成立，所以自然数的集合{1,2,3…}是个有限集。&在其《》中，老友指出了上述悖论的一个错误：&实际上，这悖论里前面的“所有”指集合里任意的某元素，后面是“所有”元素构成的集合，是两个不同的含义。&但这个悖论还犯了一个更大的错误， 老友并没有指出。 数学归纳法是是一种严格的数学证明方法，使用它时必须先有一个待证明的命题。而这个悖论并没有给出什么是待证明的命题。如果将悖论里的结论，“自然数的集合{1,2,3…}是个有限集”，作为待证明的命题，那谁还会使用数学归纳法去证明这一命题？ 逻辑上，有可能由于“{1，2，…,n}是有限集”对每个自然数n都正确，通过简单归纳、猜测“{1，2，3，…}是个有限集”。但它是个显然错误的归纳或猜测。这正说明了普通归纳法之不足。&因此，提出这一悖论的一个重大错误是没有先给出待证明的命题，却说是“根据数学归纳法”得出所谓的结论，这无疑将普通的“归纳”与“数学归纳法”混为一谈。这一点是必须提醒读者的。&老友多次让我将哥德巴赫猜想的讨论与此悖论进行比较实为费解，因为它们之间没有任何合理的逻辑关联。&现在，既然各自已亮明自己的看法，无法统一，我个人对哥德巴赫猜想与哥德尔论悖论的讨论就到此为止，不再参与辩论。希望老友不要再或明或暗地重燃关于哥德巴赫猜想的这一争论，除非能用哥德尔的方法严格判断哥德巴赫猜想是否“不可证明”。& & &否则本来是有些意义的“有限”讨论会演变成毫无意义的“无限”纠缠。
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