与怎么若尔当标准型型有关的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-07-06 13:20 标签： 法克佑码 若尔
若尔当标准型的研究_百度文库
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若尔当标准型的研究
若​尔​当​标​准​型​的​研​究
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哈尔滨师范大学 学
矩阵的若尔当标准型及简单应用 学
李小琴 指导老师
数学与应用数学 系
数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 07年6月 矩阵的及若尔当标准型及简单应用 李小琴 摘
要：复数域上的每一阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词：若尔当
标准 定义1
设是一个复数，矩阵
（ 1 ） 其中主对角上的元素都是，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 的一个若尔当（或若尔当块）. 当=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1
设是维向量空间的一个线性变换，都是的一切互不相同的本征值，那么存在的一个基，似的关于这个基的矩阵有形状
） 这里=，而都是属于的若尔当块， 证
设的最小多项式是，而在复数域上是不可约的因式分解，这里是互不相同的本征值，是正整数，又设=ker｜ }，所以空间有直和分解= 对于每一，令是―在上的限制，那么是子空间的一个幂零线性变换，而子空间可以分解为一循环子空间的直和：.在每一循环子空间里，取一个循环基，凑成的一个基，那么关于这个基的矩阵有形状 这里是幂零若尔当块.令，那么=+，于是对于加上基来说，的矩阵是 这里都是属于的若尔当块. 对于每一子空间，按以上方式选取一个基，凑起来成为的基，那么关于这个基的矩阵就是有定理所求的形式（2）. 注意
在矩阵（2）里，主对角上的第块，是的矩阵.而子空间 显然由唯一确定，而出现在每一里的若尔当块里由唯一确定的，因而是由唯一确定. 定义2
形式如的阶矩阵，其
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本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址：&&
第二十九课时：相似矩阵和若尔当形
本讲介绍相似矩阵，两个矩阵相似意味着什么。
回顾上讲内容，正定矩阵有xTAx&0，也可直接通过特征值，主元或者行列式来做判断。
假设A是一个正定矩阵，它是一个对称矩阵，那么A的逆矩阵也是对称的，而且，A的逆的特征值等于原矩阵特征值的倒数，如果能判断原矩阵是正定的，那么它的逆也能确定是正定的。
如果A,B都是正定矩阵，那么A+B也是正定的。证明：已知xTAx&0，xTBx&0，那么xT(A+B)x&0。
实际上大量的物理问题需要用长方形矩阵描述。
正定矩阵从何而来？它来自最小二乘法。最小二乘的关键在于矩阵ATA，可证明它是一个正定矩阵。
假设有长方矩阵Am×n，那么ATA是对称矩阵。
= (Ax)T(Ax) = |Ax|2&&=
0，当Ax为零向量时等式等于0，Ax=0，如何保证A的零空间里只有零向量？
当A各列线性无关，rank(A)=n时，零空间只有零向量。此时，ATA是正定的，最小二乘方程将存在最优解。
正定性把以前的内容都串联起来。现在要进入线性代数最核心的内容了。
相似矩阵
A和B是两个n×n方阵，如果存在某个可逆矩阵M，使得：B=M-1AM，那么A和B是相似的。
其中任意两个互为相似的矩阵满足上述等式。
假设A有无关的特征向量，通过特征向量矩阵S，有：S-1AS=Λ，那么A相似于Λ。对角阵是这类矩阵（互为相似矩阵）中最与众不同的。它是这类矩阵里面最简洁的一个。矩阵A的所有相似矩阵里面，Λ是最好的，还有许多其他矩阵与A相似。我们可以用任意的可逆矩阵M代替S,都得到一个新的矩阵，这个新的矩阵与A相似。那么A与其他所有的相似矩阵的共同点是什么？
性质1）相似矩阵具有相同的特征值；（注意特征向量并不相同）
具有相同特征值的一类矩阵，两个矩阵之间由一个可逆M联系起来，这类矩阵里面最特殊的就是对角阵Λ。为什么相似矩阵具有相同的特征值？
有Ax=λx，假设λ是A的特征值，那么AMM-1x=λx，等式两边同时乘以M-1，M-1AMM-1x=λM-1x，同时有B=M-1AM，所以前面的式子化为：BM-1x&=λM-1x，此等式表明λ是B的一个特征值。由此也可得性质2.
性质2）B=M-1AM，&B的特征向量等于M的逆乘以矩阵A的特征向量；
对角阵Λ是A的最简单特殊的相似矩阵，Λ的特征向量为(1 0),(0 1)。
有一种坏情况
当矩阵A有重复的特征值，那么意味着A的特征向量会共线，矩阵可能无法对角化。
假设A的特征值：λ1=λ2=4，A=([4 0],[0 4])，那么M-1AM仍旧为A，这样的对角矩阵是单一的一类矩阵，它的相似矩阵只有自己。
另一种情况，如上，下部分，λ1=λ2=4，这是一个无法对角化的矩阵，它可以找到一类矩阵与它相似，如果把右上角的元素换成10或者其他的数，也是一样的能找到相应的M使之与其相似，但右上角是1的特征值重复的三角矩阵称为若尔当标准型Jordan form。若尔当标准型是最接近对角阵的一个，但又不完全对角化。
对于之前无法对角化的矩阵，都可以通过某种特殊方法，完成近似的“对角化”。如果想要对角化任何矩阵，则必须学习这种方法。
另一类相似矩阵：他们的迹和行列式相等。比如下面的，他们的特征值相等，且所有的特征值都是重复的。
另一类矩阵，若尔当认为它们并不是相似的。
如下第一个矩阵，λ1=λ2=λ3=λ4=0，特征向量为整个零空间，零空间是二维的。如果把第一行的第三个元素改为7，特征值仍然相等，特征向量个数仍然相等，修改过的矩阵和原先的矩阵相似，但因为之前的矩阵很美观，所以选择前者。注意对角线上的1，每增加一个1，特征向量就减少1个。
第二个矩阵,4个特征值仍然全为0，特征向量的个数为2，但若尔当认为第二个矩阵并不相似与第一个矩阵。第一个矩阵由3×3的矩阵和1×1的矩阵若尔当块组成，第二个矩阵由两个2×2的分块组成，这些分块称为若尔当块。因为若尔当块大小不一样，所以若尔当认为两个矩阵并不相似。
若尔当块：Ji表示i阶的若尔当块，它只有一个重复的特征值，对角线上全是λi，下面是0，上面是1，它的对角线上都是同一个数，只有一个特征向量。即，每个若尔当块只有一个特征向量。
若尔当阵J：由若尔当块构成的矩阵，特征值位于对角线上，对角线上方有若干个1，若尔当块的数量等于特征向量的个数，因为每一块对应于一个特征向量。
若尔当定理：每个方阵A都相似于一个若尔当阵J。如果方阵A有n个互不相同的特征值，那么它是一个可对角化的矩阵，对应的若尔当阵就是对角阵Λ，J=Λ，d=n。
若尔当研究了所有情况，包含特征值重复的情况，此时特征向量的个数变少，这就是若尔当的理论。
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