当前位置：
＞＞＞如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为m=1kg的相同小..
如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为m=1kg的相同小球A、B、C，现让A球以v0=2m/s的速度向着B球运动，A、B两球碰撞后黏合在一起，两球继续向右运动并跟C球碰撞，C球的最终速度vc=1m/s。（1）两球跟球相碰前的共同速度多大？（2）两次碰撞过程中一共损失了多少动能？
题型：计算题难度：中档来源：0114
解：（1）A、B相碰满足动量守恒 得两球跟C球相碰前的速度v1=1m/s （2）两球与C碰撞同样满足动量守恒 得两球碰后的速度v2=0.5m/s 两次碰撞损失的动能=1.25J。
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为m=1kg的相同小..”主要考查你对&&动量守恒定律的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
动量守恒定律的应用
动量守恒定律的应用:1、动量守恒定律：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。即m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'。 2、动量守恒定律的常见问题： ①碰撞问题； ②爆炸问题； ③反冲现象； ④人船模型； “人船模型”是动量守恒定律的应用的一个经典模型，该模型应用的条件：一个原来处于静止状态的系统，当系统中的物体间发生相对运动的过程中，有一个方向上动量守恒。 ⑤子弹打木块模型。子弹打木块模型及推广： Ⅰ、一物块在木板上滑动，μNS相对=ΔEk系统=Q，Q为摩擦在系统中产生的热量； Ⅱ、小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动，包括小车上悬一单摆单摆的摆动过程等。小球上升到最高点时系统有共同速度（或有共同的水平速度）；系统内弹力做功时，不将机械能转化为其它形式的能，因此过程中系统机械能守恒。 Ⅲ、一静一动的同种电荷追碰运动等。 从“六性”把握动量守恒定律的应用方法:
1．条件性动量守恒定律的成立是有条件的，只有当系统满足动量守恒的条件时才能利用方程式进行计算。 2．矢量性动量守恒方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负。若方向未知，可设为与正方向相同列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向。 3．参考系的同一性速度具有相对性，公式中的均应对同一参考系而言，一般均取对地的速度。4．状态的同一性相互作用前的总动量，这个“前”是指相互作用前的某一时刻，所以均是此时刻的瞬时速度，同理 应是相互作用后的某一时刻的瞬时速度。 5．整体性动量守恒定律是针对一个物体系统而言的，具有系统的整体性。 6．普适性它不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。
临界与极值问题的解法:
在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题。分析临界问题的关键是寻找临界状态，临界状态的出现是有条件的，这种条件就是临界条件。临界条件往往表现为某个(或某些)物理量的特定取值。在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
“人船模型”的解题规律:
&“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用，它把速度和质量的关系推广到质量和位移的关系，这样给我们提供了一种解题思路和解决问题的方法。人船问题的适用条件是：两个物体组成的系统(当有多个物体组成系统时，可以先转化为两个物体组成的系统)动量守恒，系统的合动量为零。这种模型中涉及两种题型，一种题型是求解某物体在相互作用过程中通过的位移，此题型中需根据动量守恒、位移关系得到两个关系求解，如在图中，人从船头走到船尾时由动量守恒可得：再由图中几何关系有可得人船的位移分别为另一种题型是求某一时刻物体的速度，这种题型是先要由动量守恒求得两物体的一个速度关系，再由能量守恒得到两物体的另一个速度关系，从而求得物体的瞬时速度(或与瞬时速度相关的物理量)。
发现相似题
与“如图所示，在水平光滑直导轨上，静止着三个质量均为m=1kg的相同小..”考查相似的试题有：
117824112007107345117910111928128552动量方面的题,1一个静止的质量为M的不稳定原子核，当它放射出质量为m、速度为v的粒子后，原子核剩余部分的速度为2放在光滑水平面上的一辆小车的长度为L，质量为M。在车的一端站一个_作业帮
拍照搜题，秒出答案
动量方面的题,1一个静止的质量为M的不稳定原子核，当它放射出质量为m、速度为v的粒子后，原子核剩余部分的速度为2放在光滑水平面上的一辆小车的长度为L，质量为M。在车的一端站一个
动量方面的题,1一个静止的质量为M的不稳定原子核，当它放射出质量为m、速度为v的粒子后，原子核剩余部分的速度为2放在光滑水平面上的一辆小车的长度为L，质量为M。在车的一端站一个人，人的质量为m，开始使人和车都静止，当人从车的一端走到另一端时，人前进的距离为（）3一质量为m的小球，其运动速度为v0，向右运动，与迎面而来的质量为2m，速度为另一球作完全非弹性碰撞。（1）碰撞后公同速度为：（2）两球碰撞后，机械能损失为
忘记发图片了,题目都看不到
1、 原子核剩余部分的速度为 U=mv/(M-m).2、人前进的距离为（ LM/(M+m）)3、速度为另一球作完全非弹-----速度为多少？（1）1.0m/s；（2）1400J【解析】试题分析：（1）设运动员甲、乙的质量分别为m、M，碰前速度大小分别为v1、v2，碰后乙的速度大小为v′2，由动量守恒定律有：mv1－Mv2＝Mv′2解得：v′2＝－v2＝1.0m/s（2）根据能量守恒定律可知，碰撞中总机械能的损失为：ΔE＝＋－代入数据解得：ΔE＝1400J考点：本题主要考查了动量守恒定律和能量守恒定律的应用问题，属于中档题。 
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试物理（江苏卷解析版）
题型：选择题
为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落。关于该实验，下列说法中正确的有（
）A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（北京卷解析版）
题型：选择题
应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入，例如平伸手掌托起物体，由静止开始竖直向上运动，直至将物体抛出。对此现象分析正确的是A．受托物体向上运动的过程中，物体始终处于超重状态B．受托物体向上运动的过程中，物体始终处于失重状态C．在物体离开手的瞬间，物体的加速度大于重力加速度D．在物体离开手的瞬间，手的加速度大于重力加速度 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（四川卷解析版）
题型：计算题
（17分）在如图所示的竖直平面内。水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r =m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ = 37°。过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B = 1.25T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E = 1×104N/C。小物体P1质量m = 2×10-3kg、电荷量q = +8×10-6C，受到水平向右的推力F = 9.98×10-3N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力。当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t = 0.1s与P1相遇。P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为= 0. 5，取g = 10m/s2，sin37° = 0.6，cos37°= 0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。求：（1）小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；（2）倾斜轨道GH的长度s。 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（大纲卷解析版）
题型：选择题
一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为（
）A．tanθ和
B．（－1）tanθ和
C．tanθ和
D．（－1）tanθ和 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（天津卷解析版）
题型：选择题
研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大B．线速度变大
D．角速度变大 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（天津卷解析版）
题型：实验题
某同学把附有滑轮的长木板放在实验桌上，将细绳一端拴在小车上，另一端绕过定滑轮，挂上适当的钩码，使小车在钩码的牵引下运动，以此定量探究绳拉力做功与小车动能变化的关系，此外还准备了打点计时器及配套的电源、导线、复写纸、纸带、小木块等。组装的实验装置如图所示。①若要完成该实验，必需的实验器材还有哪些
。②实验开始时，他先调节木板上定滑轮的高度，使牵引小车的细绳与木板平行，他这样做的目的是下列的哪个
（填字母代号）A避免小车在运动过程中发生抖动B可使打点计时器在纸带上打出的点清晰C可以保证小车最终能够实现匀速直线运动D可在平衡摩擦力后使细绳拉力等于小车受的合力③平衡摩擦力后，当他用多个钩码牵引小车时，发现小车运动过快，致使打出的纸带上点数较少，难以选到合适的点计算小车速度，在保证所挂钩码数目不变的条件下，请你利用本实验的器材提出一个解决办法：
。④他将钩码重力做的功当作细绳拉力做的功，经多次实验发现拉力做功总是要比小车动能增量大一些，这一情况可能是下列哪些原因造成的
（填字母代号）。 A在接通电源的同时释放了小车B小车释放时离打点计时器太近C阻力未完全被小车重力沿木板方向的分力平衡掉D钩码匀加速运动，钩码重力大于细绳拉力 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（山东卷解析版）
如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木反拉力的大小，则维修后A．F1不变，F2变大
B．F1不变，F2变小C．F1变大，F2变大
D．F1变小，F2变小 
科目：高中物理
来源：2014年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ解析版）
题型：填空题
（6分）一定量的理想气体从状态a开始，经历三个过程ab、bc、ca回到原状态，其图象如图所示，下列判断正确的是
。（填正确答案标号，选对一个得3分，选对2个得4分，选对3个得6分。每选错1个扣3分，最低得0分）A.过程ab中气体一定吸热B．过程bc中气体既不吸热也不放热C．过程ca中外界对气体所做的功等于气体所放的热D．A、b和c三个状态中，状态 a分子的平均动能最小E．b和c两个状态中，容器壁单位面积单位时间内受到气体分子撞击的次数不同 课后习题课件第一章 质点的运动规律1.一质点具有恒定加速度 a = 6i + 4 j (ms-1 ) ，在 t ? 0 时，其初 速度为零，初位臵为 r0 ? 10im。求（1）任意时刻的速度和位臵 矢量；（2）质点的轨迹方程，并画出轨迹示意图。 r0 ? 10im t ? 0 时 v0 ? 0 解：（1）任意时刻比速度和位置矢量 dv dv ? a ?
dt ? (6i ? 4 j )dt a? dt?v0dv ? ? (6i ? 4 j )dt0tv ? (6ti ? 4tj )m / sdr v? , dr ? vdt ? (6ti ? 4tj )dt dt?rr0dr ? ? (6ti ? 4tj )dt0tr ? r0 ? 3t 2 i ? 2t 2 jr ? r0 ? 3t 2 i ? 2t 2 j = (10 ? 3t 2 )i ? 2t 2 j（2）质点轨迹y得? x ? 10 ? 3t 2 ? ? y ? 2t 2 ? ? 2 y ? ( x ? 10) 310 x?20 3质点的轨迹图2.一身高为 h 的人，用绳子拉一雪橇奔跑，雪橇放在高出地 面 H 的光滑平台上，若人奔跑的速率v0 ，求雪橇的速度、加 速度。 解：方法1：建立Ox, 如习题2图（a）并没t=0时人在滑轮A的x ? L ? (v0 t ) 2 ? ( H ? h) 2 正下方，则雪橇的运动方程为：?v t dx 雪橇的速度为 v ? ? 1 2 2 dt ?(v t ) ? ( H ? h ) ? 2 ? 0 ? ,运动方向与x方向相反2 0雪橇的加速度2 ?v 0 ( H ? h ) 2 dv a? ? 3 dt ?(v t 2 ) ? ( H ? h 2 ) ? 2 ? 0 ?xoA ADHhHohx?习题2 图（a）习题2 图（b）方法二：建立坐标O ?x ?，如习题2图（b）并设t=0时人在滑轮A的 正下方，有 l 2 ? x?2 ? (H ? h)2 ? ? ? ? ? (1) , l为t时刻绳AD 长， x ? 是t 时刻人的坐标，l , x ? 均为变值。 雪dx ? v0 ? dtdl v? dt橇的速率人的速率 x? ? v0t对（1）式求导 2l dl ? 2 x ? dx ,?v?2 v0 t 2dtdtdl x ? v? ? v0 dt l(v0 t ) ? ( H ? h)2,雪橇运动方向与x?正方向相同3.一球以30ms -1的速率水平抛出，求5s 后的切向加速度和法向 加速度。a ? gj 解：v ? v0 i ? gtj 方法1：速率 v ? v 2 ? ( gt ) 2 0dv a? ? ? dtg 2t2 v0 ? ( gt ) 2v 方法2：切向单位矢量 ? ? ? v切向加速度大小 a? ? a ?? ? gj ?将v0 ? 30m sv0 i ? gtj2 v0 ? ( gt ) 2v0 i ? gtj2 0 2t ? 5s2 v ? ( gt ) v0 ? ( gt ) 2 g ? 9.80m s a? ? 8.36m s2?g 2tan ? g 2 ? a? 2 ? 5.1m s 24.一质点由静止出发，它的加速度在 轴的分量为 2 -2 -2 5s ，在 y 轴的分量为 a y ? 5t (ms ) ，求5s时质 ax ? 10t (ms ) 点的速度、位臵。x解：5 3 625 v ? v0 ? ? adt ? 5t i ? t j ? 125i ? j 3 325 3 5 4 625 3125 r ? r0 ? ? vdt ? t i ? t j ? i? j 3 12 3 125.设从某一点 M ，以同样的速率，沿着同一铅直面内各个不同 方向，同时抛出几个物体，试证，在任意时刻，这几个物体总 是散落在某一圆周上。 证明：以抛出点为坐标原点，抛体初速率 v 0 为与x轴夹角为 ? ， 斜抛运动方程： ? x ? v0 t cos ?1 x 2 ? ( y ? gt 2 ) ? (v0 t ) ,与 可得到 2? ? 1 2 ? y ? v0 t sin ? ? 2 gt ? 2? 角无关，任一时刻，它1 2 们都在半径为 v0 t ,圆心为（0，- gt ）的圆周上。 2v b R 的圆周按规律 S ? v0t ? bt 2 运动， 0， 都 6.一质点沿半径为2 是常数，求： （1） 时刻质点的总加速度； （2） 为何值时总加速度在数值上等于 ？ （3）当加速度达到 b 时，质点已沿圆周运行了多少圈。1t tb解：（1）t时刻为总加速度 速率v 1 dv an ? ? (v0 ? bt )2 ? ?b 法向加速度 切向加速度 a? ? R R dt1 a ? ?b? 0 ? (v 0 ?bt ) 2 n R总加速度大小41 2 1ds v? ? v0 ? bt dt2? (v0 ? bt ) 2 2 2 2? a ? (an ? a? ) ? ? ?b ? 2 ? R ?（2）a=ba2=b24(v0 ? bt ) ? b2 ? b2 R24v0 (v0 ? bt ) ? 0 v0 ? bt ? 0 t? b 1 2 v0 （3）当加速度到达b时，将 t ? 代入 S ? v0 t ? bt b 2 2 2 2 v0 1 v0 1 v0 S? ? ? b0 2 b 2 b质点转的圈数2 v0 S N? ? 2? R 4? Rb7.一列车正以10ms 的速率水平向西行驶，相对地面铅垂下落 的雨滴客车窗上形成的雨迹与窗上竖直方向成 30?夹角。试求： （1）雨滴相对于地面的水平分速度为多大？相对于客车的水 平分速度又有多大？ （2）雨滴相对于地面、客车的速度又分别如何？ 解：设 V车地 ? u 车相对地的速度-1u30oV雨地 ? V 雨相对地的速度y V xV雨车 ? V ? 雨相对车的速度根据题意，可画出如下矢量图V?V雨地 ? V雨车 +V车地7题图V ?V??u（1）V 在水平方向矢量为零 V ?在水平方向矢量为：V//? ? V ? sin30? ? ?u ? 10m/s（2）雨滴相对地面速度大小为V ? ctg30? ? 10 ? ctg30? ? 17.3m/s雨滴相对客车大小为V ? ? u2 ? V 2 ? 102 ? 17.32 ? 20m/su 10 （或 V ? ? ? 20m/s ） ? 1 sin 30 28.一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为 v1 ,下落雨滴的速度方向 偏铅直方向之前 ? 角，速率为 v2.若车后有一长方形物体，问车 速度 v1 为多大时此物体正好不会被雨水淋湿？解；雨点为研究对象，地面为静止参考系，汽车 为运动参考系，要使物体不被淋湿，则雨点相对 l 于汽车的速度的方向应满足： ? ? tg v 由速度合成公式 v雨车 ,做矢量图:如图alh? v雨地 ? v车地即: -------(2) 即:h1v雨车x ? ?v2 sin ? ? ?? v1 ?v雨车x ? v雨地x ? v车地xv雨车y ? v雨地y ? v车地y v雨车y ? ?v2 cos?3.7题图v车地yv雨地 ? ?v雨车---------(3)x由条件(1)及(2)、（3）得:v雨车x ? v2 sin ? ? v1 l tg? ? ? ? v雨车y v2 cos? hv车地yl v1 ? v2 sin ? ? v2 cos ? h 偏铅直方向之前 ? 角，做矢量图:如图bv雨车 ? ? v雨地v雨车x ? v雨地x ? v车地xv雨车x ? v2 sin ? ? ?? v1 ?x即: -------(2) 即:v雨车y ? v雨地y ? v车地y v雨车y ? ?v2 cos?---------(3)v雨车x v2 sin ? ? v1 l tg? ? ? ? v雨车y v2 cos? hl v1 ? ?v2 sin ? ? v2 cos ? h9.求图中各物体的加速度和绳的张力，设 m ? 2kg, m ? 1.8kg, a ? 30?.1 2解：?m2 g ? T ? m2 a ? ?T ? m1 g sin ? ? m1aN ? m1 g cos ? ? 0NTm1mmgm2 g ? m1 g sin ? ? (m1 ? m2 )a?2习题1-9图(m2 ? m1 sin 30? ) 8 ? 2 ? sin 30? a? g? ? 9.8 ? 2.06m/s2 m1 ? m2 3.8
11.一长为L的柔软链条，开始静止地放在一光滑表面ABC上， 其一端D至B的距离为L-a，试证当D端至B点时，链条速率为u ? ( g / L)( L2 ? a 2 )sin a 证明：设任一时刻斜面上链长为x；L－aam 质量为 m1 ? L x .?习题11图 m1 ? m2 ? m?m1 g sin ? ? T ? m1a ? T ? m2 a ?①②解得m m2 ? ( L ? x) 平面上的质量为 L① ②m1 g sin ? ? mam dV dV dx dV xg sin ? ? m ?m ? mV L dt dx dt dx 1 V ? dV ? g sin ? xdx L?V0L 1 V ? dV ? g sin ? ? xdx a Lg V ? sin ? ( L2 ? a 2 ) 积分得 L2V?g sin ? ( L2 ? a 2 ) L12.质量为 m的物体最初位于 x0处，在力 F ? ?k / x 2 作用下由 静止开始沿直线运动，试证它在x处的速度为u ? 2( K / m)(1/ x ? 1/ x0 )解：牛顿定律F ? ma K dV du dx dV ? 2 ?m ?m ? mV dt dx dt dx xK dx VdV ? ? m x22K x dx K 1 1 ?0 V ? dV ? ? m ?x0 x2 ? ? m ( x0 ? x )V2K 1 1 2K 1 1 2K 1 1 V ?? ( ? )? ( ? )；V0 ? ( ? ) m x0 x m x x0 m x x013.一质量为m的质点,沿x轴运动,运动学方程为 x ? A cos ?t (A为 常数),证明其受力形式为: F ? ?? 2 mx解 : x ? A cos ?t dx v? v ? ??A sin ?t dt dv a? a ? ?? 2 A cos ?t dtF ? ma ? ?? mA cos ?t ? ?? mx2 2? ? 2 ? ? ct 2 ? dt ?,其 ? 14.质量为m的质点的运动方程为r ? at ? b i j ? ? 2 ? ? ct 2 ? dt ? ? 解 : r ? at ? b i j ? ? ? ? ?2ct ? d ? ? ? v ? 2ati j ? ? ? ? 2c? ? a ? 2a i j? ? ? ? ? ? ? 2mc? ? const F ? ma ? 2mai j中a,b,c,d均为常数,t为时间,单位是国际单位,求证质点受恒力作用, 并求力的大小和方向.?? ???? ??? ? ? 2? 15.一质量为m的质点,在力 F ? 10t i ? 5t? 的作用下运动,t=0时, j? ? ? ? ? ? , v ? 2i ? 4 ?,求质点在任意时刻的位臵和速度. ? ? r ? r0 ? 3i 0 j? ? ? 2? 解 : F ? 10t i ? 5t? j2 ? 10t ? 5t ? ? a? i? ? j ? m m 2 t ? t ? 10t ? ? ? ? ? ? ?4? ? ? ? ? 5t v ? v0 ? ? adt ? 2i j ?? i 0 0 m ? m? ? F ? ma???? ? ?dt j? ?? 10t 3 ? ? ? 5t 2 ? ? ? ?i ? ? 4 ? ?? ? ?2 ? ? ? ? ?j 3m ? ? 2m ? ? t ? ? t ?? 10t 3 ? ? ? 5t 2 ? ? ? ? ? ? ?i ? ? 4 ? ? ? ? dt r ? r0 ? ? v dt ? 3i ? ? ?? 2 ? ? ? ?j 0 0 ? 3m ? ? 2m ? ? ?? ? 10t 4 ? ? ? 5t 3 ? ? ?i ? ? 4t ? ? ? ? 3 ? 2t ? ? ? ? 12m ? ? 6m ? ? ?16.如图,小车以加速度a沿水平方向运动,小车内有一光滑桌面,滑 轮质量不计,绳子质量不计且不可伸长,绳与滑轮之间摩擦不计,质 量为m1和m2的质点连于绳两端,m相对车厢偏离铅直方向30o,求车 厢的加速度和绳中的张力. m1 解:选择向右为正方向,对于m1有:a??相对?a?牵连?Tm230om1 ?a ? a?? ? ?T(1)其中a’是m1相对与车的加速度. o o T 对于m2,选择沿绳方向有: ? m2 g cos30o ? m2 a sin 30 ? a?a?牵连?30??(2)Ta??相对?o30mgm2 g sin 30o ? m2 a cos30o 对于垂直于绳方向有:解方程(1)、（2）、（3)得(3)a ? gtg30o3m1m2 g T? 3?m1 ? m2 ?第二章运动的守恒定律1.机械能守恒的条件是什么?动量守恒的条件是什么?分析下述系 统中机械能、动量是否守恒：（1)如图2-1a两个物体A、B由弹簧连接，静止的放在光滑水平 面上，用大小相等、方向相反的力分别作用在物体A和物体B上， 作用过程中，系统的机械能、动量是否守恒、 （2)两个物体A、B由弹簧连接，静止的放在光滑水平面上，若 在物体A上放臵物体C，在物体B上放臵物体D，如图2-1b，A与 C和B与D之间有摩擦力，用力将A和B拉开一定距离后放手，此 后系统机械能、动量是否守恒？FA图2-1aBCDFA图2-1bB如果系统所受的外力之和为零则动量守恒。 如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力 的总功为零，则系统机械能守恒。 (1).机械能不守恒，动量守恒。 （2).若无相对滑动,则机械能守恒,动量守恒. 若有相对滑动,则机械能不守恒,动量守恒.2.在某过程中若系统受到的外力的冲量总和为零，是否动量一 定守恒？根据质点系的动量定理,作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量。3.在系统内部，内力是作用力和反作用力，其大小相等、方向 相反，那么一对内力对系统的做功之和是否一定为零？一对内 力对系统的冲量之和是否一定为零? 成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力 F 及相对位移 2于合力为零,所以,一对内力对系统的冲量之和一定为零? d r? 有关。所以,一对内力对系统的做功之和不一定为零.由4．如图，一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为1.00kg的物 体上,起初物体静止在无摩擦的水平面上,若用5N的恒力作用 在绳索的一端,使物体向右运动,当系在物体上的绳索从与水 平面成 30o变为 37 o角时,力对物体所作的功为多少?已知滑轮 与水平面之间的距离为1m5N30Oo?37oh ? 1mr2.1题图r解法一：按照功的定义： dW ? F ? dr = Fdr cos ? 考虑到 r , ? 均为变量，所以要统一变量，由图可知 r ? h / tan ? ， h d? 则 dr ? 2 sin ??W0dW =h sin 30?37o30oh F cos ? d? 2 sin ?h o ] ? 5?[ 1 sin 30 o ? 1 s in 37 o ] ? 1.67JW ? F[o ?sin 37解法二：根据功的意义，功等于力的大小乘以力的作用点的位 移，作用点的位移就是图中三角形的斜边的长短变化即： h h o ? o sin 30 sin 37所以W ? F[h sin 30o ?h sin 37o ] ? 5?[1 sin 30o ?1 s in 37o ] ? 1.67J5．如图，一重物从高度为 h 处的 A 点沿光滑轨道滑下后,在环 内作圆周运动。设圆环半径为 R ，若要重物转到圆环顶点 B 处 刚好不脱离，高度至少要多少？ 解：物体在圆环顶点不掉下来的条件是轨道对重物的支撑力 N ?0 B 在B点对物体受力分析并列动力学方程： A v2 v2 h Nm N ? mg ? m N ? m ? mg ? 0 R g R R 由此而得在B点的速度满足： 2.2题图 2 v ? gR ------（1） 由A点到B的过程是机械能守恒过程：1 2 mgh ? mv ? 2mgR --------（2） 2将（1）代入（2）得物体在A点的高度满足：5 h? R 26．如图，设地球在太阳的引力作用下，绕太阳作匀速圆周运 动，问：在下述情况下：（1）地球从 A 点运动到 B点；（2） 地球从A 点运动到C 点；（3）地球从 A点出发绕行一周后回 到 A点，地球的动量增量和所受到的冲量各为多少？解：（1）I AB ? ?PAB= PB - PA ? mvi - (?mvj ) ? mv(i ? j ) A ? 太阳?C 地球I AC ? ?PAc ? PC - PA ? 2mvjIAA? ?PAA ? PA - PA ? 0? B2.3题图7． 铁路上有一静止的平板车，其质量为 M ，设平板车可在水 平轨道上无摩擦的运动，现有 N 个人从平板车的后端跳下，每 个人的质量为 m，相对平板车的速度均为 u ，求：在下列两种 N 情况下，（1） 个人同时跳下；（2）一个一个地跳下，平板 车的末速是多少？ 解：（1）N个一起跳 由于轨道无摩擦力，所以在水平方向无外力所以水平方向 动量守恒： 0 ? Mv车地 ? Nmv人地-------（1） v人地 ? v人车 ? v车地 ? ?u ? v车地 -------（2）v车地Nmu ? M ? Nm（2）一个一个地跳下： 一个跳下后：0 ? [M ? ( N ? 1)m]v1 ? m(?u ? v1 )二个跳下后：mu v1 ? M ? Nm ------（1）?[M ? ( N ? 1)m]v1 ? [M ? ( N ? 2)m]v2 ? m(?u ? v2 ) mu v2 ? v1 ? M ? ( N ? 1)m ------（2） mu 同理： v3 ? v2 ? --------（3） M ? ( N ? 2)mmu vN ? vN ?1 ? M ?m--------（N）将上述N个式子相加得：vN ? ?i ?1Nmu M ? im8．质量为 M ? 3 ? 10 kg 的重锤,从高度为 h ? 1.5m 处自由落 ? 到锻压工件上如图,使工件变形。如果作用时间：（1） t ? 0.1s ；（2）?t ? 0.01s ，求锤对工件的平均冲力。3解:?P M 2 gh F? ? ?t ?t3.0 ? 103 ? 2 ? 9.8 ? 1.5 (1) F ? ? 1.63 ? 105 N 0.1h3.0 ? 103 ? 2 ? 9.8 ? 1.5 (2) F ? ? 1.63 ? 106 N 0.012.5题图9．质量为 M 的木块静止在光滑的水平面上。一质量为 m的子 弹 以 速 率 v0水 平 入 射 到 木 块 内 ， 并 与 木 块 一 起 运 动 。 已 -1 M ? 980g ，m ? 20g ，0 ? 800ms，求： v 知 （1）木块对子弹作用力的功； （2）子弹对木块作用力的功； （3）耗散掉的机械能。 解:动量守恒: mv0 ? ?m ? M ?v mv 0 0.02 ? 800 v? ? ? 16 ms ?1 m?M 1 (1). W ? 1 mv2 ? 1 mv0 2 ? 1 ? 0.02? ?8002 ? 162 ? 2 2 2 ? 6397 44J . (2). (3).1 1 2 W ? Mv ? ? 0.98 ?16 2 ? 125 .44 J 2 21 2 1 ?E ? m v0 ? ?m ? M ?v 2 2 2 ?
? 6272J10.如图，有一自动卸货车，满载时的质量为 M ，空载时的重 o 量为 m ,从与水平成30 角的斜面上的 A 点由静止滑下，设斜面 对车的阻力是车重的0.25倍，矿车下滑的距离为 l 时，矿车与 缓冲弹簧一道沿斜面运动，当矿车使弹簧产生最大形变时，矿 车自动卸货，然后在弹簧的作用下自动返回 A 点装货，试问： 要完成这一过程，空载时和满载时的车的质量比是多少？解：根据系统的功能原理：?0.25Mgl ? 0.25mgl ? 0 ? (M ? m) gl sin 30oM ? 3 :1 mlA302.7题图o11．一个人从10 m 深的井中提水，起始时桶中装有10 kg 水， 由于水桶漏水，每升高一米，漏去0.2 kg 的水，求水桶匀速 从井中提到井口，人所做的功？ 解：W ? ? Tdx ?? (m ? 0.2 x) gdx ? 882J010ox12.有两个带电粒子,它们的质量均为 m ,电荷量均为 q ,其中一 个静止,另一个以初速 v0 由无限远向其运动,问:这两个粒子最 接近的距离为多少?在这一瞬间.两个粒子的速率是多少?你能 知道这两个粒子的速度将如何变化吗?(已知库仑定理 qq 为 F ?k 1 2 )r2解:距离最近时两个粒子的速率相等,在过程中只考虑库仑力的 功,应用系统的动能原理:过程中系统动量守恒:q2 q2 1 2 1 2 W ? ? k 2 dr ? ?k ? 2 ? mv ? mv0 ? 2 2 r rr---(1)mv0 ? 2mv ? ? ? ? ? (2)联解(1)(2)得：v0 4q 2 v ? ；r ? 2 2 mv0 k13．如图,质量为 M 的卡车,载有质量为 m的木箱,以速率 沿 平直路面行驶,因故突然刹车,车轮立刻停止转动,卡车和木箱 都向前滑行,木箱在卡车向前滑行了 l ,并和卡车同时停止,已 知卡车和木箱、卡车和地面之间的滑动摩擦系数分别为?1 和? 2 ， 求卡车的滑行距离L 。 解:应用系统的功能原理得: 1 ?mg ?1l ? ( M ? m) g ?2 L ? 0 ? ( M ? m)v 2 2 左边第一项是内非保守力的功,第二 项是外力的功,右边是系统机械能的 增量. m?1 v2 解方程得: L ? ? lvlL2.10题图2 g ?2( M ? m) ?214．在光滑水平面上有一弹簧，一端固定，另一端连接一质量 为 m的滑块，如图，弹簧的自然长度为 L0，劲度系数为 k ，设 v t ? 0 时，弹簧长为 L0 ，滑块速度为 v0， 0与弹簧垂直。某一 时刻弹簧位于与初始位臵垂直的位臵，长度为 L ，求：该时刻 滑块速度的大小和方向？ v L O 解:角动量守恒: ?mv0 L0 ? mvL sin ? ------(1)过程中系统的机械能守恒:L01 2 1 2 1 mv0 ? mv ? k ( L ? L0 ) 2 2 2 2代入(1)得:2 0v0-----(2)m2.11题图k v ? v ? ( L ? L0 )2 m第三章 机械振动1.符合什么规律的运动是简谐运动?说明下列运动是不是简谐运 动： 答：符合 F ? ? kx 或关系式 x ? A cos(?t ? ? ) 的运动是简 谐振动。 (1)完全弹性球在硬地面上的跳动； 不是。虽然完全弹性碰撞过程中能量守恒，但球在运动的过程中 受到的力不符合 F ? ? kx 关系式。 (2)活塞的往复运动； 不是。有摩擦力作功，不符合F ? ? kx 关系式(3)如图所示，一球沿半径很大的光滑凹球面滚动(设球所经过的 弧线很短)； 是。分析过程类似单摆。(4)竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距 离(在弹性限度内)，然后放手任其运动。是。分析过程见例题2.一个单摆的摆长为l，摆球的的质量为m，当其作小角度摆动时， 试问在下列情况下的周期各为多少?(设地球上的重力加速度为g) l T 答：单摆的周期公式为： ? 2? g ?(1)在月球上，已知月球上的重力加速度g0=1/6g； g l （1） 不变， 减小，所以周期增大。 T ' ? 2? 6l ? 6T g ?(2)在环绕地球的同步卫星上；l 不变 g ? 0, T ? ??(3)在以加速度a上升的升降机中；l 不变， g 变为 g ? a ，所以周期变为 T ' ? 2??(4)在以加速度a(＜g)下降的升降机中。'l ?T g?al l 不变， g 变为 g ? a ，所以周期变为 T ? 2? ?T g ?a3.一个小球和轻弹簧组成的系统，按x=0.05cos(8πt+π/3)(SI)的规律 振动。 (2)求t=1秒、2秒、10秒等时刻的位相；(3)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。 ? ? 8?s ?1 ；周期 T ? 2? ? 1 ? 0.25s ?1 解、（1）角频率 ? 4 ? 振幅 A ? 0.05 m ； 初相 ? ?(1)求振动的角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度；Vmax3 ? A? ? 0.05? 8? ? 1.256m / s?amax ? A? 2 ? 0.05? (8? ) 2 ? 31.55m / s 225? （2）t ? 1s 时，相位 ?t ? ? ? 8? ? 3 ? 3 t ? 2s时，相位 ?t ? ? ? 8? ? 2 ? ? ? 49? 3 3
4.有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动。该 振动的表达式用余弦函数表示。若t=0时，球的运动状态为： (1)x0=-A；(2)过平衡位置向x正方向运动；(3)过x=A/2，且向x负方 向运动。试用矢量图法分别确定相应的初相。解：（1）x0 ? ? A 可得 ? ? ? 。见图示 A1 。 3 （2）小球过平衡位置向X正方向运动，可得? ? ? 。见图示 A2。 2 1 A ? （3）小球过 x ? ，且向X负方向运动，可得 ? ? 。见图示 A3。23A3A1oA/2xA24题图5.如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体的光滑 斜面上振动。 k2 ?(1)证明其运动仍是简谐振动； ?(2)求系统的振动频率。xxk1?5题图证明：设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，OX轴正向沿斜面 向下（如图示），由受力分析可知，沿OX轴物体受弹性力和重力 分力的作用，其中弹性力是变力。我们分析物体在任意一位置时 受力与位移的关系，这里要用到：串联的弹簧，各弹簧受力相等。 x 设物体平衡时两弹簧伸长分别为 x1 、 2 ，则由物体受力平衡有， （1） 按图所取坐标，物体沿 x 轴移动位移 x 时，两弹簧又分别伸长为 ? ? ? x'1 、x2 ，即 x ? x1 ? x2 。 则物体受力为 ' ' F ? mgsin ? ? k2 ( x2 ? x2 ) ? mgsin ? ? k1 ( x1 ? x1 )（2）mgsin ? ? k1x1 ? k2 x2将式（1）代入（2）得F ? ?k2 x 2' ? ?k1 x1'（3）' ' x1' ? ? F ，x'2 ? ? F ，而x ? x1 ? x2 ，则得到 由式（3）得 k1 k2F ? ?(k1k2 / k1 ? k2 ) x ? ?kx ，式中 k ? k1k 2则说明物体是做简谐运动，振动频率为( k1 ? k2 )为常数，? ? 1 k ? 1 k1k2 ? ? 2? m 2? (k1 ? k2 )m ，证毕。 2?6.已知一个谐振子的振动曲线如图所示，试由图线求：?(1)与a、b、c、d、e各状态相应的相； ?(2)振动表达式；x / cmb 5.0 2.5 a c d 0 2.0 ?2.54.4?(3)画出旋转矢量图?5.0et /s6题图a解：（1）由旋转矢量图可给出：a点相位：?t?? ? ? ? ??3? 2k?。。b 点相位： ?t ? ? ? ?2k?c 点相位： t ? ? ? ??A ? 5cm ? 5 ? 10?2 m ， ? 2.4 s （2）据图示可知： 2 2? ?3 e 点相位：?t ? ? ? 4? ? 2k? 3? 2k? 。d 点相位： t ? ? ? ?。T?2? 2k?。, T ? 4 .8 s。 T 2.4 1 A t ? 0s 时，小球过 x ? ，且向X正方向运动，可得 ? ? ? ? 3 2 ? ?2 x ? 5 ? 10 cos( 0.417?t ? )( SI ) 因此简谐振动的方程为： 3Ad???? 1.3s ?1（3）旋转矢量图见6题图b。o AeAcAb A / 2 Aa x6题图7.两个谐振子作同频率、同振幅的简谐振动。第一个振子的振 动表达式为x1=Acos(ωt+φ)，当第一个振子从振动的正方向回 到平衡位臵时，第二个振子恰在正方向位移的端点。 求：(1)第二个振子的振动表达式和二者的相差； ? (2)若t=0时，x1=-A/2，并向x负方向运动，画出二者的位移 时间曲线及旋转矢量图。 解：将两振动的相位画在旋转矢量图上。? 3? （1）由图可知二者的相差为： ? 2k? 或 ? 2 ? 2k? 。 2第2个振子的表达式为：x3? ) 2 ? A cos( ?t ? ? ? ?2 或 x 2 ? A cos( ?t ? ? ? ) 2A （2） t ? 0 s 时，小球过 x1 ? ? ，且向X负方向运动，可得 2? 2 ?? 3 2? 因此简谐振动的方程为： x1 ? A cos( ?t ? )； 3因为相位差为 ??22? ? ? ? x2 ? A cos? ?t ? ? ? 3 2? ?x 2 ? A cos( ?t ??6)8.有一单摆，摆长为1.0m，最大摆角为50。?(1)求摆的角频率和周期； ?(2)设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；?(3)当摆角为30时的角速度和摆球的线速度各为多少?解：（1）单摆角频率及周期分别为：??g l? 3.13 s?1T ?2??? 2.01s（2）由 t ? 0 时，则以角量 ? ? ?max ? 50可得振动初相 ? ? 0表示的简谐振动的方程为 ? ??36cos( 3.13s ?1 )t （rad）30 时，有 cos(?t ? ? ) ? ? ? ? 0.6 （3）摆角为 max则这时质点的角速度为 d? ? ?? max? sin(?t ? ? ) ? ?? max? 1 ? cos 2 (?t ? ? ) ? ?0.8? max? ? ?0.218 s ?1 dt ?1 d? ? 0.218s 线速度的大小为 v ? ldt9.在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量1.0kg的重物，现使平 板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m。 求： ?(1)平板到最低点时，重物对平板的作用力；?(2)若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板??(3)若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板? 解：物体随板作简谐运动，并受重力P和支持力FN 的作用，其中FN 是变力。 2 FNnd y F 按牛顿定律有： ? m g ? FN ? m 2 （1） dt 2 d y 2 a ? ? A? cos(?t ? ? ) ， 对简谐运动有： ? 2 dt则（1）式变为：y o PyFN ? mg ? mA? cos(?t ? ? )2(2)9题图（1）当重物在最低点时，相位?t ? ? ? 0 ，物体受板的支持力 为： F ? m g ? m A? 2 ? m g ? m A 2? ) 2 ? 12.96N (N重物对木块的作用力FN与F' N 大小相等，方向相反。T（2）当 ?t ? ? ? ? 时，FN 最小，而重物恰好跳离平板的条件 为 F ?0 。N当频率不变时，设振幅为 入（2）得A'。将 FN2? 0 及 ?t ? ? ? ?? 6.2 ?10 m?2代mg A ?'（3）当振幅不变时，设频率为 ? ' 。同样将FN 代入（2）m?2gT ?4?2? 0及 ?t ? ? ? ?得?' 1 mg ' ? ? ? ? 3.52 Hz mA 2? 2?10.当重力加速度g改变dg时，试问单摆的周期T的变化dT如何?写 出周期的变化dT/T与重和加速度的变化dg/g之间的关系式。在 g=9.80米/秒2处走时准确的一只钟，移至另一地点每天慢10秒， 试用上式计算该地的重力加速度值。设该钟用单摆计时。l T 解：（1）单摆的周期公式为： ? 2? ,对其两侧进行 l 不变的 g 3 微分得： 1 ?2 l 1 T dT ? 2? l ? (? g )dg ? 2? (? )dg ? ? dg 2 g 2g 2g dT dg 整理得， ? ? 。 T 2g g? l l 二者之比为 T ' （2） ? 2? ，T ? 2? ； T ? ' g g? T g其中 T ? 24 ? 3600 s ， T ' ? (24? 3600? 10)s所以，， g ? 9.80m / s 2? ? 9.79773 / s 2 g m11.一个弹簧振子，弹簧劲度系数为k=25牛顿/米，当物体以初动 能0.2焦耳和初势能0.6焦耳振动时，试回答下列各问： ?(1)振幅是多大? ?(2)位移是多大时，热能和动能相等? ?(3)位移是振幅的一半时，势能多大? 解：（1）初始能量为：E ? Ek ? Ep ? 0.2 ? 0.6 ? 0.8J1 2 所以 kA ? E ， A ? 0.253 m 2（2）设位移为X时动能和势能相等，据机械能守恒有1 2 1 1 2 2 kx ? ? kA x?? A ? ?0.179m ， 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 (3)当 x ? A 时， kx ? ? kA ? 0.2 J 2 2 4 212.如图所示，质量为1.0×10-2kg的子 弹，以500m/s的速度射入并嵌在木块中， v0 k M 同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木 m 块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为 8.00×103N/m。若以弹簧原长时物体所 12题图 在处为坐标原点，向左为x轴正向，求 简谐运动方程。 解：子弹与木块发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒有 'kmv ? (M ? m)v 碰后的速率为 v? ? m v( M ? m) =1m/s1 2 1 由简谐振动的能量守恒得： kA ? ( M ? m)v ' 2 2 2A ? 2.5 ? 10 m当时?2?? k'3? ?2 3? ) 所以? ? 因此简谐振动的方程为：x ? 2.5 ? 10 cos( 40t ? 2 2t ? ， x0 ? 0 ； 0v0 ? v ? 0 （沿X轴方向运动）。m?M? 40s?113.如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，其下挂有一质量为m1的 空盘。现有一质量为m2的物体从盘上方高为h处自由落到盘中，并 和盘粘在一起振动，问： ?(1)此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同? ?(2)此时的振幅为多大? 解：（1）当质量 m2 的物体自左高处自由落入 盘中与盘一起振动，振子质量为 m1 ? m2 ，故 振动周期 m ?mT ? 2?12kKm2h m1习题3-13 图m1 大于质空盘振动的周期 T ? 2? K（2）m1 与解得m2 完全弹性碰撞，动量守恒，设共同速度Vm2 2gh ? (m1 ? m2 )Vm2 2 gh V? m1 ? m2若将此时作为振动计时起点则初速 v0 ? V ；若将（m1 ? m2）的平 m2 g 衡位置做为坐标原点，则初始位移为 x0 ? ? ，根据初始位速 K 条件可得振动振幅2 A ? x0 ? (v0?)22 m2 g 2 2m2 gh ? ( ) ? K (m1 ? m2 ) K14.如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，系一质量为m1的物体，在 水平面上作振幅为A的简谐运动。有一质量为m2的粘土，从高度 为h处自由下落，正好在(a)物体通过平衡位置时，(b)物体在最大 位移处时，落在物体上，分别求：(1)振动周期有何变化?(2)振幅 有何变化? 解：（1）当粘土块 m2 掉在木块 m1 上时，周期变大。m1 ? m2 T ? ? 2? Khkm1习题3-14图（2）当在平衡位置处 m2 落在 m1 上，根据动量守恒：m1V ? (m1 ? m2 )V ?V V表示原来振子 m1 通过平衡位置的速度，? 表示撞后振子 m1 ? m2 的速度，设撞后振幅 A? 有m1 V? ? V m1 ? m2m1V 2 1 1 1 2 2 KA? ? (m1 ? m2 )V ? ? (m1 ? m2 )( ) 2 2 2 m1 ?m 2 m1 1 m1 1 2 ? ( KA) ? m1V 2 m1 ? m2 2 m1 ? m2 2?m1 A? ? A ?A m1 ? m2而在最大位移处落下，系统机械能不变，振幅不变A? ? A15.质量为0.10kg的物体，以振幅5.0×10-2m作简谐运动，其最大 加速度为0.493m/s-2。求：?(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；?(3)物体在何处其动能和势能相等；(4)当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各点总能量的多少? 解：（1）最大加速度?am 0.493 ?? ? ? 3.14(s ?1 ) A 5.0 ? 10?22?am ? A? 22 ? 3.14 ? ? 2s ? T? 周期 ? 3.14 （2）物体通过平衡位置的总能量与动能相等E ? EK ? 1 1 1 KA 2 ? mA 2? 2 ? ? 0.1 ? (5.0 ? 10 ? 2 ) 2 ? 3.14 2 ? 1.23 ? 10 ?3 J 2 2 21 1 1 1 E P ? E K ? E 即 kx 2 ? ? kA 2 （3）当动能与势能相等时有 2 2 2 2得2 x?? A ? ?0.707? 5 ? 10?2 ? ?3.54 ? 10?2 m 21 （4）当 x ? A 时 2 1 2 1 A 2 1 1 E 2 势能 E P ? Kx ? K ( ) ? ? KA ? 2 2 2 4 2 4 3 动能 E K ? E ? E P ? E 4 1 势能与动能之比为 316.试证明：?(1)在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间 的平均值都等于kA2/4；?(2)在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别 等于kA2/3和kA2/6。 证明：（1）势能对时间的平均值1 EP ? T?T01 2 1 Kx dt ? 2 T?T01 KA 2 cos 2 ?t ? dt 21 1 2 1 ? ? KA T 2 ?动能对时间的平均值：?T0KA 2 ?T 1 ? ? KA 2 cos 2 ?t ? d (?t ) ? 2?T 2 4KA 2 T 1 2 1 T1 E K ? ? mA 2? 2 sin 2 ?tdt ? ?0 2 sin ?td?t 0 2 T 2?T KA 2 ?T 1 1 T1 2 ? ? ? KA ? ? KA 2 sin 2 ?tdt T 0 2 2?T 2 4（2）一周期中势能对位置的平均值1 A1 2 K 1 3 EP ? ? Kx dx ? ? x A 0 2 2A 3一周期中动能时位置的平均值。A 01 ? KA2 61 A 1 1 1 1 A1 2 2 2 E K ? ? ( KA ? Kx )dx ? KA ? ? Kx 2 dx A 0 2 2 2 A 0 2 1 1 1 2 ? KA ? KA ? KA 2 2 6 317.如图所示，一劲度系数为k=312.0N/m的轻弹簧，一端固定，另 一端连接一质量为m1=0.30kg的物体A，放置在光滑的水平桌面上， 物体A上再放置质量为m2=0.20kg的物体B，已知A、B间静摩擦因数 为0.50。求两物体间无相对运动时，系统振动的最大能量。解：A、B间所能提供的最大静摩势力决定了 它们相对静止时运动的最大加速度 am ? ?g ， 所以它们振动的最大振幅A满足 kB A习题3-17 图 ?3m1 ? m2 A ? 2 ? am K ? am? g (m1 ? m2 )am ? A? 20.5 ?10 ? (0.3 ? 0.2) ?A? ? ? 8.0 ?10 m K 312 1 1 2 ?3 2 ?2 系统振动机械能 E ? KA ? ? 312 ? (8.0 ? 10 ) ? 1.0 ? 10 J 2 218.已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为 x1=(0.05m)cos［(10s-1)t+0.75π］，x2=(0.06m)cos［(10s-1)t+0.25π］。 求：?(1)合振动的振幅及初相； (2)若有另一同方向同频率的简谐运动x3=(0.07m)cos［(10s-1)t+φ3］， 则φ3为多少时，x1+x3的振幅最大?又φ3为多少时，x2+x3的振幅最小?x 10 解：（1） ? x1 ? x 2 ? 0.05cos(10t ? 0.75? ) ? 0.06cos( t ? 0.25? ) 做向量图可知：合振动振幅 A ? A12 ? A22 ? 0.05 2 ? 0.06 2 ? 0.064 m5 ? 45? ? 39.8? ? 85? ? 0.47? 合振动初相 ? ? ? tg 4 6 ? 10 合振动表达式 x ? 0.064cos( t ? 0.47? ) (2）若另有 x35? 0.07cos(10t ? ? 3 )与 x1 合成，则当它们同相时 即 ?3 ? 2k? ? ? 时，合振动振幅为最大；与 x2 合成时，当它们 4?1?反相时即 ?3 ? 2k? ? 0.75? 时合振动振幅最小。19．有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.20m， 合振动的相位与第一个振动的相位差为π/6，第一个振动的振幅 为0.173m。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。解:以 A 旋转矢量为x轴做矢量图，A 与 A 1 1? 的夹角为 ，由旋转矢 6量图可知两个旋转矢量互相垂直 AA1 ? OA1 即 A ?2 A12 ? A2 ＝0.10m,? 相位差为 220．将频率为348Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合 成，测得拍频为3.0Hz。若在等测频率音叉的一端加上一小块物 体，则拍频将减少，求等测音叉的固有频率。 解：由题意可知，待测音叉的频率大于348Hz 故其频率v2 ? v1 ? ?v ? 348 ? 3 ? 351Hz21．一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动，开始时期振幅为0.12m， 经72s后振幅减为0.06m。 问(1)阻尼系数是多少?(2)如振幅减至 0.03m，需再经历多长的时间?1 A 解：（1）由 A ? A0 e 解得 ? ? ? ln 代入数值 t A0 1 A 1 0.06 ? ? ? ln ? ? ln ? 9.6 ? 10?3 (s ?1 )? ?ttA0720.12（2）A 1 0.03 t ? ? ln ?? ln ? 144s ?3 ? A0 0.12 9.6 ? 10122．一质量为2.5kg的物体与一劲度系数为1250N· -1的弹簧相连作 m 阻尼振动，阻力系数为50.0kg·-1，求阻尼振动的角频率ω。 s2 ? ? ?0 ? ? 2 解：由阻尼振动规律K 1250 ? ? ? ? 500 ? s ?2 式中 m 2.5 v 50kg / s ?? ? ? 20 ? (s ?1 ) m 2.5kg2 0?? ? 500? 400 ? 10s ?12 3 . 一弹簧振子系统 ，物体的质量 m=1 .0 k g，弹簧的劲度系数 k=900N· -1，系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为β=10.0s-1。 m 为了使振动持续，现加一周期性外力F=(100N)cos(30s-1)t作用。求： ?(1)振子达到稳定时的振动角频率；?(2)若外力的角频率可以改 变，则当其值为多少时系统出现共振现象?其共振的振幅为多大?解：（1）由受迫振动规律，稳定后它的振动频率等于策动力的频 率 ? ? 30s ?12 ? r ? ? 0 ? 2 ? 2 式中 ? 02 ? K ? 900 ? 900 (s ? 2 ) 代入 （2）共振频率 m 1? r ? 900? 2 ?102 26.5(s ?1 )即当外力角频率 P ? ? r ? 26.5(s ?1 ) 时系统发生共振，共振时的振 幅A?h 2? ? ? ?2 0 2?100/ 1 2 ? 10 ? 900 ? 102? 0.177m第四章 机械波1.关于波长的概念有三种说法，试分析它们是否一致： ?(1)同一波线上，相位差为2π的两个振动质点之间的距离； ?(2)在一个周期内，振动所传播的距离； ?(3)横波的两个相邻波峰(或波谷)之间的距离；纵波的两个相 邻密部(或疏部)对应点之间 的距离。 x 答：三种说法一致，首先用波函数 y ( xt ) ? A cos( ?t ? ? ? 2? ? ) 来 分析，用一波上两质点x1 , x 2 其相位分别 x1 x2 x1 ? x 2 为? 1 ? ?t ? ? ? 2? ， 2 ? ?t ? ? ? 2? ,? 2 ? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? 相位差为2? 即 x1 ? x 2 ? 1 的两质点间的距离为 ??（2）在一个周期，振动的质点其位相差为 2? 和（1）一致 ；（3）中只要将某时刻的波形图作出，很显然，相邻的波 峰（谷），纵波的相邻密部（疏部）对应点其相位差为 2? ，和（1）（3）是一致的；2.机械波的波长、频率、周期和波速四个量中。?(1)在同一介质中，哪些量是不变的??(2)当波从一种介质进入另一种介质中时，哪些量是不变的? 答：（1）同一介质中，波长、频率、周期、波速不变； （2）当波中一种介质进入另一种介质时；频率、周期不变。3.试判断下面几种说法，哪些是正确的，哪些是错的? ?(1)机械振动一定能产生机械波； ?(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的；?(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的；?(4)波动方程式中坐标原点是选取在波源位臵上的。答：（1）×，产生机械波的另一个必要条件是有弹性介质。 （2）×，质点的振动速度是由振源本身性质决定， ， v(t ) ? ??A sin(?t ? ? ) 而波速度由介质的性质决定 V ? 或 ? ? （3）√，由T的定义； （4）×，坐标原点的选取是任意的；aE；4．横波的波形及传播方向如本 题图所示，试画出点A、B、C、D 的运动方向，并画出经过1/4周 期后的波形曲线。y A振 动 方 向传播方向uBoC习题4-4图Dx5.波动的能量与哪些物理量有关?比较波动的能量与简谐运动 的能量。1 ? ? ?? 2 A2 知波动的能量与介质的密度 ? 答：由平均能量密度 2 1 2 ? 和波振幅A有关；振动能量 E ? m? 2 A知简 波动的角频率 2谐振动能量与振子的质量 m ，振动角频率 ? 和振幅A有关。6.波动过程中体积元的总能量随时间变化，这和能量守恒定律 是否矛盾? 答：波动过程中体积元的能量随时间变化，这充分说明了波的 传播过程伴随能量的传播；而一个周期内平均能量密度1 ? ? ?? 2 A2 2不随时间变化表明能量是守恒的。 7.驻波有什么特点?cos ?t 可知，驻波的振幅 答：由驻波表达式 y ( x.t ) ? 2 A cos ? 2?x 2 A cos ? 随位置不同而不同，并且表现出周期性；相邻波腹? /波节之间的距离为 。另外，驻波为分段振动，并不传递相位 2 和能量。2?x8.在钢棒中声速为5100米/秒，求钢的杨氏弹性模量(钢的密度 ρ=7.8克/厘米3)。解：由v?E?? E ? ?v2E ? 7.8 ?103 kg / m3 ? ( / s 2 ? 2.03?1011 kg / m2 s 2 )9.一横波在沿绳子传播时的波动方程为y=(0.20m)cos ［(2.50πs-1)t-(πm-1)x］。 ?(1)求波的振幅、波速、频率及波长； ?(2)求绳上的质点振动时的最大速度； ?(3)分别画出t=1s和t=2s时的波形，并指出波峰和波谷，画出 x=1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同。 解：已知 y ? (0.20) cos[2.50?t ? ?x] 和 y ? A cos[ ?t ? ? 0 ? 2? x ] 比 ? 较 2? ? ? ? ? ? 2m A （1） ? 0.20 m , ? 由?? 2 ? 2.5? u ? ? 2? ? ? ? 2.5m / s T 2? 2? ? 1 ? 2.5? f ? ? ? ? 1.25 Hz T 2? 2????1 1 2 2 m? A ? mv 2 （2）由振动质点机械能守恒： 2 2? v ? ? A ? 2.5? ? 0.2 ? 0.5? m / s ? 1.57m / s(3)y t ?0.1 ? 0.2cos(2.5? ? ? x) ? 0.2cos ? (2.5 ? x)y t ?2.0 ? 0.2cos(5.0? ? ? x) ? 0.2cos ? (5.0 ? x)y x?1.0 ? 0.2cos(2.5? ? ? x)10.波源作简谐运动，其运动方程为y=4.0×10-3cos（240πt），它 所形成的波以30m/s的速度沿一直线传播。(1)求波的周期及波长； (2)写出波动方程。 解：由 y ? 4.0 ? 10?3 cos(240 t ) ? 2? ? ? 240? , T ? ? 8.33 ? 10 ?3 s, ? ? uT ? 30 ? 8.33 ? 10 ?3 ? 0.25m （1） ?（2）以波源为原点，波向x轴正向传播的波方程 (? 0 ? 0)? ? x ?? ? x ?? ? ?3 y ? A cos ?? ? t ? ?? ? 4.0 ?10 cos ?240? ? t ? ?? ? 30 ?? ? ? u ?? ?11、波源作谐振动，振幅为 A，周期为0.02s，该振动以 100m/s 的速度沿x正向传播，形成平面简谐波。设 t = 0 时 波源经平衡位臵向正方向运动。 （1）写出波动方程的两种形式 3? 含有角频率及波速参数：y ( x, t ) ? A cos[100? t ? ? x ? ] 2 t x 3? y ( x, t ) ? A cos 2? [ ? ? ] 含有波长及周期参数： 0.02 2 2（2）距波源15 m和 5 m处的振动方程 3? y (15, t ) ? A cos[100? t ? 15? ? ] 2 3? y (5, t ) ? A cos[100? t ? 5? ? ] 2 （3）距波源16 m 和17 m 两质点间的位相差 r2 ? r1 17 ? 16 ?? ? ?2? ? 2? ?? ? 2?12.波源作简谐运动，周期为1.0×10-2s，并以它经平衡位臵向 正方向运动时为时间起点。若此振动以u=400m/s的速度沿直线传 播。求： ?(1)距波源为8.0m处的点P的运动方程和初相； ?(2)距波源为9.0m处10.0m处两点的相位差为多少?解：? ?? 1.0 ? 10 s, u ? 400 m / s, ? 0 ? ??2?2? ? ? u? ? 4m,（1）x? 8.0m,? ? t x? ? ? ? t x? ? ? y ? A cos?2? ? ? ? ? ? 0 ? ? A cos?2? ? ? ?? ? ?2 4? 2? ? ?? ?? ? ? ? 1.0 ? 10? ? t 8? ? ? ?? 9? ? ? ? y ? A cos?2? ? ? ? ? ? ? A cos?200?t ? 4? ? ? ? A cos? 200?t ? ? ?2 4? 2? 2? 2 ? ? ? ? ? 1? 10 9? ?0 ? ? 22? ? ?9 ? 10 ? ? ? ? ?x ? （2）?? ? ? 4 22??13.有一平面简谐波在介质中传播，波速u=100m/s，波线上右侧 距波源O(坐标原点)为75.0m处的一点P的运动方程为yp=(0.30m)cos ［(2πs-1)t+π/2］，求：(1)波向x轴正方向传播时的波动方程； (2)波向x轴负方向传播时的波动方程。 ?? ? u ? 100m / s, x ? 75.0m, y p ? 0.3cos ? 2? t ? ? , ? ? 2? , ? ? 1s, ? ? u? ? 100m 解： 2? ? 2? 2? 3 （1）若波沿x轴正方向传播时，即点o振动超前 ? x ? 100 ? 75 ? 2 ? ?原点o振动方程：o ? 0.3 cos? 2?t ? ? ? 3? ? ? 0.3 cos?2?t ? 2? ? y ? ? 2 2 ? ? ? ? ? x ? y 波向x轴正方向传播时的波动方程： ? 0.3 cos?2? ? t ? ? ??? ? ? 100? ? （2）若波沿x轴负方向传播时，即点o振动落后于p? 3? ? ? y ? ? 0.3 cos?2?t ? ? ? 原点o振动方程：o ? 0.3 cos? 2?t ? ? 2 2 ? ? x ? ? y ? 0.3cos 2? ? t ? ? 波向x轴负方向传播时的波动方程 ? 100 ??
（2）在距离原点为7.5m处的质点的运动方程 7.5 ? y ? 0.10 cos[500? (t ? )? ] .5 ? )? ] 质点的振动速率为：v ? ?50? sin[500? (t ? 5000 313? 7.5 ? ) ? 40.6m ? s -1 v ? ?50? sin( ? ) ? ?50? sin( t = 0时， 12 10 315.一平面谐波，波长为12m，沿x轴负向传播。图示x=1.0m处质 点的振动曲线，求此波动方程。 y/m 解： ? ? 12m, A ? 0.4m, x ? 1.0m 由振动曲线求1m处质点的振动方程， A ? t ? 0, y ? 0.2 ? , 且向正方向振动 ? 0 ? ?2 30.4 0.2 0?0.2 ?0.45.0t /s习题4-15图t=5s时，质点第一次回到平衡位置。 ? ? ? ? 5? ? ?1 ?t ? ? ? ? ? ? ?? ? s 2 ? 3? 6 6 ?? ?? ? y1 ? 0.4 cos? t ? ? 3? ?6 2? 2? ? x? ?1 ? 原点处振动落后 ? 12 6 ? ?? ??? 2? ?? ? 波动方程： y ? 0.4 cos? 6 t ? 2 ? ? ?? ?t ? ? ? y0 ? 0.4 cos? t ? ? ? ? 0.4 cos? ? ? 3 6? ?6 ? 6 2?? ? ?t ?x ? ? x ? ? 0.4 cos? ? ? ? ? ? 6 6 2??16.图中(I)是t=0时的波形图，(II)是t=0.1s时的波形图，已 知T＞0.1s，写出波动方程表达式。3? 3? ? ,? ? ? 0.1 /? n ? ? 解： ?t ? 0.1s ? n? ? 4 4? ? ? ? ? 0.1s ? n ? 0 4 2? ? ?? s, ? ? ? 15? , A ? 0.1m, ? ? 2m, u ? ? 15m / s 30 ? ?y/m又t=0时，y= -A ?? 0 ? ? ? y ? 0.1cos?15? ? t ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15 ? ? ?u? ?0.100?0.101.02.0x/m习题4-16图?17.为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率，若波源 发出的是球面波(设介质不吸收波的能量)。求距离波源5.0m和 10.0m处的能流密度. 解：P=4W单位时间内通过任意半径的球面的能量相同，都等于 波源消耗的功率P，在同一球面上，各处能流密度相等。平均能 P 4 流密度I=P/S I1 ? ? ? 1.27 ? 10?2 W / m 2 2 4? ? 5 2 4?r1I2 ? P 4?r22?4 ? 3.18? 10?3 W / m 2 4? ? 102?18.一弹性波在媒质中传播的速度u=10m/s，振幅A=1.0×10-4m， 频率v=103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3，求： ?(1)该波的平均能流密度； ?(2)一分钟内垂直通过一面积S=4×10-4m2的总能量。 ? 解： ? 2?? （1） ? 1 ?? 2 A2u ? 1 ?? 2 4? 2? 2 A2u ? 1.58 ?105W / m 2 I22（2）W=ISt=3790J?19.一线波源发射柱面波，设媒质为不吸收能量的各向同性均 匀媒质，问波的强度以及振幅和离开波源的距离有何关系? 1 I 1 S1T ? I 2 S 2T , I ? ?uA 2? 2 解：相同时间内通过两个柱面能量相同 2?20.如图所示，两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A、 B点，设它们相位相同,且频率 v =30Hz，波速u=0.50m/s，求点P 处两列波的相位差。A1 r2 2?r1hI1 ? 2?r2 hI2 ,? r1 A1 ? r2 A2 , ? A2 r12 2? 解： ? 30 Hz, u ? 0.50m / s u 0.5 1 ?? ? ? ? 30 602 2 ?P3m30?BP ? AP ? AB ? 2 AP ? AB cos30 ? 2.94m A B 0.07m 2? ?3 ? 2.94 ? ? 7.2? ?? ? ? 习题4-20图?21.如图所示，两相干波源分别在P、Q两点，它们发出频率 为? ，波长为λ，初相相同的两列相干波，设PQ=3λ/2，R为PQ 连线上的一点。求：(1)自P、Q发出的两列波在R处的相位差； (2)两波在R处干涉时的合振幅。解：（1）3? ?? ? ?r ? ? ? 3? ? ? 22 22?2?P3 2Q?习题4-21图R（2）A??A1 ? A2 ? 2 A1 A2 cos ?? ? A1 ? A222．位于同一介质中的A、B两波源点，它们可以产生沿x轴正反 向传播的平面波且振幅相等，频率为100Hz ，B比A位相超前 。 ? 若A、B相距30m ，波速为400m/s，则AB连线上因干涉而静止的 各点的位臵。 （设A为坐标原点）。rB rA A O A x O A O B1题图a 30-x 1题图bx/mBx/mrA1题图cB rBx/m? 解：静止的条件： ?? (2k ? 1)?30?? ? ?2 ? ?1 ? 2??? 在A的左边图a： ? ? ? 2?? 在B的右边图c：? ? ? ? 2? ?30rB ? rA?? ?14? 没有静止的点? 16? 没有静止的点?30 ? 2 x ? ?14? ? ? x 在AB之间图b: ?? ? ? ? 2? 4 ?14? ? ? x ? (2k ? 1)? 解上式得： x ? 2k ? 15同时 x 满足：0 ? x ? 30 所以 x ? 1、3、5、7、9、11、13、15、17?、19、21、22、23、25、27、29。23.本题图是干涉型消声器原理示意图，利用这一结构可消除噪声， 当发动机排气噪声波到达A 点时，分成两路在 B 点相遇，声波 因 干涉而相消，如果要消除频率为300Hz的排气噪声，求图中弯管与 直管长度差 r = r 2 －r 1 至少应为多少?? (2k ? 1)? ? ? u / f ? 340 / 300m?? ? 2? r2 ? r1? 解：相消条件： ?r2AB?r13题图r ? 2? ? 2k? ? ? 340 / 300r ? 0.56 ? 1.13krmin ? 0.56m24.两波在同一条绳上传播，它们的方程分别为 y1=(0.06m)cos［(πm-1)x-(4πs-1)t］和y2=(0.06m)cos［(πm1)x+(4πs-1)t］。 ?(1)证明这细绳是作驻波式振动，并求节点和波腹的位臵； (2)波腹处的振幅多大?在x=1.2m处，振幅多大? 解：在波线上任取一点Py ? y1 p ? y2 p ? 0.12 cos ? x cos 4? t ? 0.12 cos2? x?cos 4? t与驻波方程相同的形式，所以是驻波运动。 2? ? cos x ?0 是波节位置， x ? k ? 2 2? cos x ? 1 是波腹位置， x ? ?2k ? 1? ? ? 4 2? ' （2） A ? 2 A cos x ? 0.12m ? 2? ' x=1.2m处 A ? 2 ? 0.06cos 1.2 ? 0.097m 225.一警车以25m/s?的速度在静止的空气中行驶，假设车上警 笛的频率为800Hz。求： (1)静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率； (2)如果警车追赶一辆速度为15m/s的客车，则客车上人听到警 笛声波频率是多少?(设空气中声速u=330m/s)u 解：声源：s ? 25m / s,? s ? 800Hz, u ? 330m / s（1）由于多普勒效应，路边观察者收到的频率u 330 ? ?p ? ? 800 ? 865.6 Hz 警车驶近观察者： p ? u ? us 305u 330 ? ?s ? ? 800 ? 743.7 Hz 警车驶离观察者：p ? u ? us 355（2）警车与客车上的观察者同向运动，观察者收到的频率330 ? 15 ?p ? ?s ? ? 800 ? 826.2 Hz u ? us 330 ? 15u ? up?26.振动频率 v=510Hz的振源在S点以速度v向墙壁接近，如图 所示，观察者在点P测得拍音频率 v′ =3.0Hz，求振源移动的速 度(声速度340m/s)。? 解： s ? 510Hz, 位于点PS的人直接 收到的声源的频率为 ?1 ，经墙反射 接收到的频率为 ? 2u ?1 ? ? s u ? us'vPu ? 2 ?? s u ? usS习题4-26图拍? 1 1 ? ? ? ?1 ?? 2 ? ? s ? ? ? u ? us u ? us ? ?u s ? 1.0m / s第五章 课 后 习 题1．由光源S发出的=60nm的单色光，自空气射入折射率n=1.23的一 层透明物质，再射入空气。若透明物质的厚度为d=1cm，入射角 ? =30，且SA=BC=5cm，求： （1） 1 为多少？ ? （2）此单色光在这层透明物质的频率、速度和波长各为多少？ （3）S到C的向何路程为多少？光程又为多少？（1） 由折射定律 解：可得sin ? ?n sin ?1空气?n空气Asin ? sin 30? ?1 ? arcsin( ) ? arcsin( ) ? 24? n 1.23?1d BC（2）单色光在透明介质中的速度 un ，波长 ?n 和频率v分别为c 3.00 ?108 un ? ? ? 2.44 ?108 m s n 1.236.00 ?10?9 ?n ? ? ? 4.88 ?10?7 m ? 488nm n 1.233.00 ?108 14 v? ? ? 5.00 ?10 Hz ?9 ? 600 ?10 c?（3）S到C的几何路程为：d SC ? SA ? AB ? BC ? SA ? ? BC cos ?1 0.01 SC ? 0.05 ? ? 0.05 ? 0.111m ? cos 24S到C的光程为?n DiI? SA ?1 ? AB ? n ? BC ?10.01 ? 0.05 ?1 ? ?1.23 ? 0.05 ?1 ? 0.114m ? cos 242．用白光垂直照射厚度e=400nm的薄膜，若薄膜的折射率为 n2=1.4，且n1＞n2＞n3，问反射光中哪种波长的可见光得到加强？ 解：由于n1＞n2＞n3 故两相干光在薄膜上。下两个表 面反射时均无半波损失，则两相 干光之间的光程差为：2 ? ? 2e n2 ? n12 sin 2 i123又由于白光垂直照射，i ? 0 当干涉加强时有光程差? ? 2n2e? ? 2n2e ? k ?(黄光)当k=2时2n2e 2 ?1.4 ? 400 ?? ? ? 560nm k 23．上题中，若薄膜厚度e=350nm，且n2＜n1，n2＜n3，则反射光 中又是哪几种波长的可见光得到加强？ 解：由于n2＜n1，n2＜n3 相干光在薄膜下表面反射时有半波损失， 在上表面反射无半波损失，在垂直入射时， 两相干光的光程差为?1 ? 2n2 e ?令??1 ? k ?2在可见光范围内讨论时发现只有一个k值满足要求， 当k=2时?2 ? 653.3nm(红光 )6．一双缝装置的一个缝为折射率1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个 缝为折射率1.70薄玻璃片所遮盖。在玻璃片插入以后，屏上原来的 中央极大所在点，现为原来的第五级明纹所占据。假定λ=480nm， 且两玻璃片厚度为t，求t。 解：对于原中央明纹所在点O，当两介质片插入以后，光程 差为? ? n2t ? n1t ? (n2 ? n1 )t ? 5?5? 5 ? 480 ? 10 ?6 t? ? ? 8.0 ? 10 m ? 8.0μm n2 ? n 1 1.70 ? 1.40?98．在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为583.9nm 的钠黄光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为 ?1 ? 4 ? 10 ?3 m ；当用 未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为 ? 2 ? 3.85 ? 10 ?3 m ， 求未知单色光的波长。 解：牛顿环装置产生的干涉暗环半径r?kR?k=0，1，2，…k=0，对应牛顿环中心的暗斑，k=1和k=4则对应第一和第四暗环 它们之间的间距 则有? ? r4 ? r1 ? R?R?1 R?2?3?1 ?2??2 ? ?1 (?2 ?1)2 ? 583.9 ? (3.85 ? 10 4 ? 10?3) ? 545.9nm214．已知单缝宽度a=1.010-4m，透明焦距f=0.5m，用λ1=400nm和 λ2=760nm的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹 离屏中心距离，以及这两条明纹之间的距离，若用每厘米刻有 1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹 分别距离屏中心多远？这两条明纹之间的距离又是多少？ 解：（1）当光垂直照射单缝时，屏上第K级明纹的位置：x ? (2k ? 1)第一级明纹的位置： 当λ1=400nm和k=1时?2af?9x1 ?3 ? 400 ? 10 ? 0.5 2 ? 1.0 ? 10?9?4? 3.0 ? 10 m? 5.7 ? 10 m?3?3当λ2=760nm和k=1时， x2 ?3 ? 760 ? 10 ? 0.5 2 ? 1.0 ? 10?4两条明纹之间的距离： ?x ? x2 ? x1 ? 2.7mm（2）当光垂直照射光栅时，屏上第k级明纹的位置。k? x? ? f d光栅常数d?10?21000? 10 m? 2 ? 10 m?2?5? 当 λ1=400nm 和k=1时， x1 ?400 ? 10 ? 0.5 10?5?9? 当 λ2=760nm 和k=1时， x2 ?760 ? 10 ? 0.5 10?5?9? 3.8 ? 10 m?2第一级明纹间的距离? ? ?x? ? x2 ? x1 ? 1.8cm15．迎面而来的两辆汽车的车头灯炮距为1.0m，问在汽车离人多 远时，它们刚能为人眼所分辨？设瞳孔直径为3mm，光在空气中 的有效波长λ=500nm 。解：当两物对光学仪器通光孔（包括人眼）的张角θ大于等 于光学仪器的最小分辨角θ0时，两物体能被分辨。由题意θ= θ0时，l d? 1.22?D此时，人与车之间的距离为?3 Dl 3.0 ? 10 ? 1.0 d? ? =4918m -9 1.22? 1.22 ? 500 ? 1017．用每一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱 （λ=589nm），问：（1）光线垂直时，最多能看到第几级光谱； （2）光线以入射角30o入射时，最多能看到第几级光谱?解（1）光波垂直射时，光栅衍射明纹的条件令: sin ? ? 1 可见级数最大为：d sin ? ? ? k ?kmax ? ?d??10?3 500589 ? 10?9? ?3.39即最多能看到第三级光谱。（2）倾斜入射时，光栅明纹的条件为d (sin ? ? sin i0 ) ? k ?k的可能最大值相应k ? 0, ?1, ?2?sin ? ? ?1在上方观察到的最大级次设为k1,取 ? ? 90?k1 ?d (sin 90 ? sin 30 )???=10 (1 ? 0.5)-3500 ? 589 ? 10-9=1.70k1 ? 1在下方观察到的最大级次设为k2 ，取 ? ? 90?? ? d ?sin(?90 ) ? sin 30 ? ? ?k2 ??=10 ( ?1 ? 0.5)-3500 ? 589 ? 10-9=-5.09k2 ? ?519．使自然光通过两个方向相交60o的偏振片，透射光强为I1，今 在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个振片均 成30o角，则透射光强为多少？ 解：设入射自然光强为I0，偏振片I对入射的自然光起检偏作用， 透射的偏振光光强恒为I0 /2，而偏振片II，III对入射的偏振光起检 偏作用，此时透射下入射的偏振光强满足马吕斯定律。入射光通 过偏振片I和II后，透射光强为I1 ? (I0 2) cos 602?? I0 ? 插入偏振片III后，其透射光强为 I 2 ? ( ) cos 2 30? cos 2 30? ? 2 ? ? ?两式相比可得I 2 ? 2.25I120．用自然光入射到放置在一起的两个偏振器上。问：（1）若透 射光的强度为最大透射光强度的1/3，这时两偏振器的主截面相交 的角度为多少？（2）若透射光的强度为入射光强度的1/3 ，两偏 振器主截面相交的夹角又为多少？（设通过偏振器后的偏振光恰 好为入射的光强度的一半）。 解：设两偏振片偏振化方向的夹角为θ，则入射光通过 偏振片I和II后，透射光强为2 I0 当θ=0时，透射光强最大 I max ? 2 I 1 1 I0 当θ= θ1时，透射光强 I max ? 0 cos 2 ? ? 3 1 2 3 2 I I 1 当θ= θ2时，透射光强 I ? 0 cos 2 ? 2 ? 0 0 3 2 3I1 ? (I0) cos ?2? ?1 ? 54.7?? ? 2 ? 35.3?第六章 课 后 习 题1.某柴油机的气缸充满空气，压缩前其中空气温度为47oC，压强 为8.61×104Pa，当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原来体积 的1/17，其压强增大到4.25×106Pa，求这时空气的温度（分别 以K和oC表示）。 解：由物态方程 可得PV ?M?RT初态 P ? 8.61?104 Pa ,V1 , T1 ? 320 K 1 末态 P ? 4.25 ?106 Pa , V ? V /17, T 2 2 1 2满足: 所以:PV1 T1 1 ? PV2 T2 2PV2 T2 ? 2 T1 =929K=656 o C PV1 12.氧气瓶的容积为3.2×10-2m3，其中氧气的压强为1.3×107Pa，氧 气厂规定压强降到1.0×106Pa时，就应该重新充气，以免经常 洗瓶。某小型吹玻璃车间平均每天用去0.40m3在1.01×105Pa压 强下的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不 变） 解：设充满氧气时，瓶中氧气分子数为N0，氧气使用到需要 重新充气时，瓶中氧气分子数为N′，每天用去的氧气分子数 为ΔN，一瓶氧气能用的天数为x，显然N0 ? N / x? ?N由物态方程N P ? kT VP0 P/ P / N0 ? V,N ? V , ?N ? ?V kT kT kT其中 P0 ? 1.30 ?107 Pa , P / ? 1.0 ?106 Pa , P ? 1.01?105 PaV ? 3.2 ?10?2 m3 , ?V ? 0.40m3N 0 ? N / P0 ? P / V x? ? ? 9.5天 ?N P ?V3．设想太阳是氢原子组成的理想气体，其密度可以看成是均匀的。 若此理想气体的压强为1.35×1014Pa，试估计太阳的温度。（已知 氢原子的质量mH=1.67×10-27kg，太阳的半径为R=6.96×108m， 太阳质量为 ms=1.99×1030kg) 解：氢原子的数密度为 n ?N M ? ? V mVM 4 3 m ?R 3由理想气体物态方程P ? nkTP 4? R3mP 可得太阳的温度为： T ? ? ? 1.16 ?107 K nk 3Mk6.某些恒星的温度可达1.0×108K，这也是发生聚变反应所需的温 度，在此温度下，恒星可视为由质子组成。问：（1）质子的平均 动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：（1）将恒星视为由质子组成的理想气体，由能均分定理 可得3 ? ? kT ? 2.07 ?10?15 J 21 2 得， 2 2? mv v ?? 2 m（2）由 ? ?其中m=1.67×10-27kg为质子的质量，所以2? v ? ? 1.6 ?106 m/s m27.求温度为127oC时氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率 及最概然速率。 解：由麦氏速率分布率可知平均速率、方均根速率及最 概然速率分别为 平均速率v?8RT??vp ?方均根速率v ?23RT?最概然速率2 RT?2其中μ为气体分子的摩尔质量氢气的摩尔质量为?H ? 2 ?10?3 kg/mol气体温度为T ? 400K则有 v ?8RT?? H? 2.06 ?103 m/s2vrms ?vp ?3RT?H?H? 2.23 ?103 m/s? 1.82 ?103 m/s22 RT2氧气的摩尔质量为?O ? 32 ?10?3 kg/mol 气体温度为 T ? 400K2v?8RT2vrms??O 3RT ? ? 5.58 ?102 m/s? 5.16 ?102 m/s?O2vp ?2 RT?O? 4.55 ?102 m/s28．图中，I、II两条曲线是两种不同的气体（氧气和氢气）在同一 温度下的麦氏速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和 氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度 f(v) I 解：（1）首先来区分两条曲线， 最概然速率为 2 RT II v ?p?显然，温度相同时摩尔质量小的气 体最概然速率大。所以，曲线I为氧气，曲线II为氢气。2000v(ms-1)v pI 1 ?O 因为 ? 16 所以 ? ?H v pII 42 2可见，氢气分子的最概然速率 氧气分子的最概然速率v pII ? 2000m/sv pI ? 500m/s（2）由 v p ?2 RT?得 T??v2 p2R??H v2 pII22R? 481K9．在容积为2.0×10-3m3的容器中，有内能为6.75×102J的刚性双原子分子 理想气体。求： （1）气体压强； （2）若容器中的分子总数为个，求分子的平均平动动能及气体温度。 解：（1）刚性双原子分子理想气体，i ? 5 其内能m i m i E ? N? ? N A kT ? RT M 2 M 2m RT M又由理想气体物态方程 PV ? 可得：PVm 2E ? RT ? M i 2E 2E 所以，气体压强为： ? P ? ? 1.35 ?105 Pa iV 5V（2）根据压强公式2 2N P ? n? k ? ?k 3 3V有分子的平均平动动能：3PV 3V 2 E 3E ?k ? ? ? ? 7.44 ?10?21 J 2 N 2 N 5V 5 N2? k 2E 3 ? ? 359K 由 ? k ? kT 可得，气体温度 T ? 3k 5 Nk 212．有N个粒子，其速率分布函数为 f (v) ? av / v0 (0 ? v ? v0 )f (v ) ? a f (v ) ? 0 (v0 ? v ? 2v0 ) (v ? 2v0 )（1）做速率分布曲线，并求常数啊a； （2）分别求速率大于v0/2和小于3v0/2的粒子数； （3）求粒子的平均速率。 解：（1）速率分布曲线如右图 由分布函数 f(v) 的归一化条件f (v )a?可得2 v00f (v)dv ? 10?2 v001 f (v)dv ? av0 ? av0 ? 1 2v02v 0v( m / s )a ? 2 / 3v0（2）速率大于v0/2的粒子数为N1 ? N ?v0 f (v)dv ? N ?v02 v0 2v0 22 v0 av dv ? N ? adv v0 v01 2 11 ? N? N? N 4 3 12速率小于3v0/2的粒子数为N2 ? N ?（3）3v0 2 0f (v)dv ? N?v0v00av dv ? N ? v03 v0 2 v02 adv ? N 3v??2 v00vf (v)dv ? ?02 v0 a 2 11 v dv ? ? avdv ? v0 v0 v0 915．真空管的线度为10-2m，其中真空度为1.33×10-3Pa，设空气 分子的有效直径为3×10-10 m，求27oC时单位体积内的空气分子数， 平均自由程和平均碰撞频率 解：系统的温度T=300K， 由物态方程 p ? nkTp 1.33 ?10?3 所以分子数密度 n ? ? ? 3.21?1017 m-3 kT 1.38 ?10?23 ? 300所以，空气分子的平均自由程为??1 2? d n2? 7.79m空气分子的平均碰撞频率8.31? 300 Z ? v 2? d n ? 1.6 ? 2 ? 3.14 ? 9 ?10?20 ? 3.21?1017s ?1 29 ?10?32Z=60.2s-115．氮气分子的有效直径3.8×10-10m，求它在标准状态下的平均 自由程和连续两次碰撞的平均时间间隔。 解： 标准状况下，系统的温度T=273K ，分子数密度氮气的摩尔质量为 M ? 2.8 ? 10 ?2 kg平均速率 v ?N A 6.02 ? 10 23 n? ? ? 2.69 ? 10 25 m ?3 V 22.4 ? 10 ?38RT ? 455m / s ?M1 2? d 2 n所以，氮气分子的平均碰撞次数 Z ? 2? d 2vn ? 7.85 ?109 s ?1 氮气分子的平均自由程为 ? ? v ?Z? 5.79 ?10?8 m氮气分子连续两次碰撞的平均时间间隔1 1 t? ? ? 1.27 ?10?10 s Z 2? d 2vn第七章 课 后 习 题1. 1mol氢，温度为300K时，体积为0.002m3，试计算下列两种过 程中氢气所做的功.(1)绝热膨胀至体积为0.02m3；(2)等温膨胀至体 积为0.02m3.怎样解释这两种过程中功的数值的差别? 解：T1 ? 300KV1 ? 0.002m3M ? 1mol?根据气体状态方程得PV1 ? M RT1 1?MRT1 8.31? 300 P ? ? ? 1.25 ? 106 Pa 1 ?V 0.002 1（1）对绝热过程： 得PV1? ? PV2? 1 2? 1.25 ? 106 ? 10?1.4 ? 4.98 ? 104 PaP2 ? P 1V1? ?V2根据绝热做功公式，P1V1 ? p 2V2 1.25 ? 10 6 ? 0.002 ? 0.02 ? 4.98 ? 10 4 W? ? ? 3.76 ? 10 3 ? ?1 0.4其中， ? ?Cp Cv?7 ? 1.4 5（2）根据等温做功公式，V2 0.02 W? RT1 ln ? 8.31 ? 300 ? ln( ) ? 2493 ? ln 10 ? 5.74 ? 10 3 J ? V1 0.002 M3. 一定量的空气，吸收了1.71×103J的热量，并保持在1.0×105Pa 下膨胀，体积从1.0×10-2m3增加到1.5×10-2m3，问空气对外做了 多少功?它的内能改变了多少? 解：系统对外界所作的功 系统内能的增加为W ? P?V ? 500 J?E ? Q ? W ? 1210 J4. 1.0mol的空气从热源吸收了热量2.66×105J，其内能增加了 4.18×105J，在这过程中气体做了多少功?是它对外界做功，还是 外界对它做功? 解：气体吸收热量 Q= 2.66×105J 内能增加Δ E= 4.18×105J 根据热力学第一定律：Q =W+ ΔE 有 W=Q-ΔE= -1.52×105J（负号表示外界对气体做功）5. 如图所示，系统从状态A沿ABC变化到状态C的过程中，外界有 326J的热量传递给系统，同时系统对外做功126J。如果系统从状 态C沿另一曲线CA回到状态A，外界对系统做功为52J，则此过程 中系统是吸热还是放热?传递热量是多少? 解：系统由A经ABC变化到C的过程中吸收的热量Q ? 326 J 对外做功W ? 126JP B C由热力学第一定律： Q ? W ? ?E有内能变化 ?E ? Q ? W ? 200 J从C经CA到A的过程中，内能的改变为?E ? ??E ? ?200 J 且对外做功 W ? ?52 J'A o V所以Q ? W ? ?E ? ?252 J7. 空气由压强为1.52×105Pa、体积为5.0×10-3m3等温膨胀到压强 为1.01×105Pa，然后再经等压压缩到原来体积，试计算空气所做 的功. 解：等温膨胀过程中所做的总功为Wt ?M?V2 RT1 ln(V1V2 ) ? P1V1 ln(V15P1 ) ? P1V1 ln(P2)其中 P ? 1.52 ? 10 5 Pa 1V1 ? 5.0 ? 10 ?3 m 3 P2 ? 1.013 ? 10 Pa等压压缩过程中所做的功为W p ? P2 (V1 ? V2 ) ? P2V2 ? P2V1 ? P2V1 ? P1V1所以做的总功为W ? Wt ? W p ? P1V1 ln( P1P2) ? P2V1 ? P1V2 ? 55.7 J8. 将体积为1.0×10-4m3、压强为1.01×105Pa氢气经绝热压缩，使 其体积变为2.0×10-5m3，求压缩过程中气体所做的功.(氢气的摩尔 热容比γ=1.41) 解：氢气可以看作是刚性双原子分子，其摩尔热容比 绝热压缩前体积为 V1 ? 1.0 ? 10 ?4 m 3 压强为 P ? 1.01 ? 10 5 Pa 1 绝热压缩后体积为 V2 ? 2.0 ? 10 ?5 m 3 压强为 P2 由绝热过程方程 P V1? ? P2V2 ? 1? ?? ?7 5P2 ? P1V1V2压缩过程中气体所作的功为PV1 ? PV2 2 Wa ? 1 ? ?23.02 J ? ?19. 使一定质量的理想气体的状态按图中的曲线沿箭头所示的方向 发生变化.图线的BC段是以 P 轴和 V 轴为渐近线的双曲线. (1)已知气体在状态 A 时的温度TA=300K?，求气体在B、C和D状 态时的温度. (2)从A到D气体对外做的功总共是多少? (3)将上述过程在V-T图上画出，并标明过程进行的方向. P(atm) 解：（1）AB为等压过程， A B 所以有 Va V b 2 ?TaTb则Vb 20 Tb ? Ta ? 300 ? ? 600 K Va 101ED V(L)BC为等温过程：Tc? Tb ? 600Ko10 20 30 40CD为等压过程：Td ? TcVd 20 ? 600 ? ? 300 K Vc 40（2）AB为等压过程，则有 Wab ? Pa (Vb ? Va )Vb CD为等压过程，则有 Wcd ? Pc (Vd ? Vc )A到D气体对外所做总功为BC为等温过程，则有 W ? P V ln( Vc ) bc b bW ? Wab ? Wbc ? WcdVc ? Pa (Vb ? Va ) ? PVb ln( ) ? Pc (Vd ? Vc ) b Vb 40 ? [2 ? (20 ? 10) ? 2 ? 20 ? ln ? 1? (20 ? 40)] ?1.013 ?10 2 20 ? 2.18 ?103 J（3）V—T图见图示V40DC20AB T(K) 600030010. 为了测定气体的γ (=CP/CV)，有时用下列方法：一定量的气体 初始温度、体积和压强为T0、V0和P0，用一根通有电流的铂丝对 它加热，设两次加热的电流和时间都相同，第一次保持气体体积 V0不变，而温度和压强变为T1，P1；第二次保持压强P0不变，而 温度和体积变为T2，V1，证明：? P1 ? P0 ?V0 ?? ?V1 ? V0 ? P0证明：根据气体状态方程 P0V0 ?M? PV ? PV ? 体积不变加热后的温度为 T1 ? 1 1 ? 1 0 MR MR压强不变加热后的温度为 T2 ?RT0 则 T0 ? P0V0 ?MRP2V2 ?MR?P0V1 ?MR由于两次加热的电流和时间都相同，所以两次加热气体所吸收的热 量也相同 即M?Cv (T1 ? T0 ) ?M?CpC p (T2 ? T0 )根据比热比定义： ? ?T1 ? T0 ( P1 ? P0 )V0 ? ? Cv T ? T (V1 ? V0 ) P0 2 012. 制冷机工作时，其冷藏室中的温度为-10℃，其放出的冷却水 的温度为11℃，若按理想卡诺制冷循环计算，则此制冷机每消耗 103J的功，可以从冷藏室中吸出多少热量?? 解：T1 ? 11 ? 273K , T2 ? ?10 ? 273K , W ? 103 JQ2 T2 根据卡诺制冷系数公式： e ? ? W T1 ? T2T2 263 得：Q2 ? W? ? 10 3 ? 1.25 ? 10 4 J T1 ? T2 2115. 汽油机可近似地看成如图示的理想循环，这个循环也叫奥托 (Otto)循环，其中DE和BC是绝热过程.TE ? TB (1)证明此热机的效率为 ? ? 1 ? TD ? TC(2)利用TVγ-1=C,上述效率公式便可写成 PVC ? ?1 ? ?1? ( ) VBPDPC CDPEPA AE BoVCVBV证：（1）该循环只有CD过程吸热，EB过程放热，则热机效率| QEB ? ? 1? QCD(2)由绝热方程TV ? ?1 ? Cm CV (TE ? TB ) | TE ? T B M ? 1? ? 1? m TD ? TC CV (TD ? TC ) M可得： TBVB? ?1 ? TCVC ? ?1 , TEVB? ?1 ? TDVC ? ?1故两式相减得：VC ? ?1 TE ? TB ?( ) TD ? TC VB代入（1）中得 ? ? 1 ?VC ? ?1 TE ? TB ? 1? ( ) TD ? TC VB
大学物理课后题答案——为大家提供各种日常写作指导，同时提供范文参考。主要栏目有：范文大全、个人简历、教案下载、课件中心、 优秀作文、考试辅导、试题库、诗词鉴赏。
相关文档：
下载文档：
搜索更多：
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。甜梦文库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。|